關于“鬼谷子和徒弟孫臏龐涓”的故事。智力問題……

4和13具體分析見下：



解題思路1：



假設數(shù)為 X,Y;和為X+Y=A,積為X*Y=B.

根據(jù)龐第一次所說的：“我肯定你也不知道這兩個數(shù)是什么”。由此知道，X+Y不是兩個素數(shù)之和。那么A的可能11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,95,97.

我們再計算一下B的可能值：

和是11能得到的積:18,24,28,30

和是17能得到的積:30,42,52,60,66,70,72

和是23能得到的積:42,60...

和是27能得到的積:50,72...

和是29能得到的積:...

和是35能得到的積:66...

和是37能得到的積:70...

......

我們可以得出可能的B為....，當然了，有些數(shù)（30=5*6=2*15）出現(xiàn)不止一次。



這時候，孫依據(jù)自己的數(shù)比較計算后，“我現(xiàn)在能夠確定這兩個數(shù)字了?！?

我們依據(jù)這句話，和我們算出來的B的集合，我們又可以把計算出來的B的集合刪除一些重復數(shù)。



和是11能得到的積:18,24,28

和是17能得到的積:52

和是23能得到的積:42,76...

和是27能得到的積:50,92...

和是29能得到的積:54,78...

和是35能得到的積:96,124...

和是37能得到的積:,...

......

因為龐說：“既然你這么說，我現(xiàn)在也知道這兩個數(shù)字是什么了?！蹦敲从珊偷贸龅姆e也必須是唯一的，由上面知道只有一行是剩下一個數(shù)的，那就是和17積52。 那么X和Y分別是4和13。





解題思路2：



說話依次編號為S1，P1，S2。

設這兩個數(shù)為x，y，和為s，積為p。

由S1，P不知道這兩個數(shù)，所以s不可能是兩個質數(shù)相加得來的，而且s＜＝41，因為如果s＞41，那么P拿到41×（s－41）必定可以猜出s了（關于這一點，參考老馬的證明，這一點很巧妙，可以省不少事情）。所以和s為{11，17，23，27，29，35，37，41}之一，設這個集合為A。

1).假設和是11。11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，如果P拿到18，18＝3×6＝2×9，只有2＋9落在集合A中，所以P可以說出P1，但是這時候S能不能說出S2呢？我們來看，如果P拿到24，24＝6×4＝3×8＝2×12，P同樣可以說P1，因為至少有兩種情況P都可以說出P1，所以A就無法斷言S2，所以和不是11。

2).假設和是17。17＝2＋15＝3＋14＝4＋13＝5＋12＝6＋11＝7＋10＝8＋9，很明顯，由于P拿到4×13可以斷言P1，而其他情況，P都無法斷言P1，所以和是17。

3).假設和是23。23＝2＋21＝3＋20＝4＋19＝5＋18＝6＋17＝7＋16＝8＋15＝9＋14＝10＋13＝11＋12，咱們先考慮含有2的n次冪或者含有大質數(shù)的那些組，如果P拿到4×19或7×16都可以斷言P1，所以和不是23。

4).假設和是27。如果P拿到8×19或4×23都可以斷言P1，所以和不是27。

5).假設和是29。如果P拿到13×16或7×22都可以斷言P1，所以和不是29。

6).假設和是35。如果P拿到16×19或4×31都可以斷言P1，所以和不是35。

7).假設和是37。如果P拿到8×29或11×26都可以斷言P1，所以和不是37。

8).假設和是41。如果B拿到4×37或8×33，都可以斷言P1，所以和不是41。

綜上所述：這兩個數(shù)是4和13。



解題思路3：



孫龐猜數(shù)的手算推理解法



1)按照龐的第一句話的后半部分，我們肯定龐知道的和S肯定不會大于54。



因為如果和54恰好是53和a，那么孫知道的積M就是M=53*a，于是孫知道，這原來兩個數(shù)中至少有

一個含有53這個因子，因為53是個素數(shù)?？墒切∮?00，又有53這個因子的，只能是

53本身，所以孫就可以只憑這個積53*a推斷出這兩個數(shù)術53和a。所以如果龐知道的

S大于54的話，他就不敢排除兩個數(shù)是53和a這種可能，也就不敢貿然說“但是我肯定

你也不知道這兩個數(shù)是什么”這種話。



如果53+99

如果S=98+99，那么龐可以立刻判斷出，這兩個數(shù)只能是98和99，而且M只能是98*99，

孫也可以知道這兩個術，所以顯然不可能。



2)按照龐的第一句話的后半部分，我們還可以肯定龐知道的和S不可以表示為兩個素數(shù)的和。



否則的話，如果鬼谷子選的兩個數(shù)字恰好就是這兩個素數(shù)，那么孫知道積M后，就可以得到唯一的素因子分解，判斷出結果。于是龐還是不敢說“但是我肯定你也不知道這兩個數(shù)是什么”這種話。



根據(jù)哥德巴赫猜想，任何大于4的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)之和，對54以下的偶數(shù)，猜想肯定被驗證過，所以S一定不能是偶數(shù)。



另外型為S=2+p的奇數(shù)，其中p是奇素數(shù)的那些S也同樣要排除掉。



還有S=51也要排除掉，因為51=17+2*17。如果鬼谷子選的是(17,2*17)，那么孫知道

的將是M=2*17*17，他對鬼谷子原來的兩數(shù)的猜想只能是(17,2*17)。（為什么51要單獨拿出來，要看下面的推理）



3)于是我們得到S必須在以下數(shù)中：

11 17 23 27 29 35 37 41 47 53



另外一方面，只要龐的S在上面這些數(shù)中，他就可以說“但是我肯定你也不知道這兩個

數(shù)是什么”，因為這些數(shù)無論怎么拆成兩數(shù)和，都至少有一個數(shù)是合數(shù)（必是一偶一

奇，如果偶的那個大于2，它就是合數(shù)，如果偶的那個等于2，我們上面的步驟已經保

證奇的那個是合數(shù)），也就是S只能拆成

a) S=2+a*b 或 b) S=a+2^n*b

這兩個樣子，其中a和b都是奇數(shù)，n>=1。

那么（下面我說的“至少兩組數(shù)”中的兩組數(shù)都不相同，而且的確存在（也就是那些

數(shù)都小于100）的理由我就不寫了，根據(jù)條件很顯然）

a)或者孫的M=2*a*b，孫就會在(2*a,b)和(2,a*b)至少兩組數(shù)里拿不定主意（a和

b都是奇數(shù)，所以這兩組數(shù)一定不同）；

b)或者M=2^n*a*b，

如果n>1，那么孫就會在(2^(n-1)*a,2*b)和(2^n*a,b)至少兩組數(shù)里拿不定主意；

如果n=1，而且a不等于b，那么孫就會在(2*a,b)和(2b,a)至少兩組數(shù)里拿不定主

意；

如果n=1，而且a等于b，這意味著S=a+2*a=3a，所以S一定是3的倍數(shù)，我們只要

討論S=27就可以了。27如果被拆成了S=9+18，那么孫拿到的M=9*18，他就會在

(9，18)和(27,6)至少兩組數(shù)里拿不定主意。

（上面對51的討論就是從這最后一種情況的討論發(fā)現(xiàn)的，我不知道上面的論證是否

過分煩瑣了，但是看看51這個“特例”，我懷疑嚴格的論證可能就得這么煩）



現(xiàn)在我們知道，當且僅當龐得到的和數(shù)S在

C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}

中，他才會說出“我雖然不能確定這兩個數(shù)是什么，但是我肯定你也不知道這兩個數(shù)

是什么”這句話



孫臏可以和我們得到同樣的結論，他還比我們多知道那個M。



4)孫的話“我現(xiàn)在能夠確定這兩個數(shù)字了”表明，他把M分解成素因子后，然后組合成

關于鬼谷子的那兩個數(shù)的若干個猜想中，有且僅有一個猜想的和在C中。否則的話，他

還是會在多個猜想之間拿不定主意。



龐涓聽了孫的話也可以得到和我們一樣的結論，他還比我們多知道那個S。



5)龐的話“我現(xiàn)在也知道這兩個數(shù)字是什么了”表明，他把S拆成兩數(shù)和后，也得到了

關于鬼谷子的那兩個數(shù)的若干個猜想，但是在所有這些拆法中，只有一種滿足4)里的

條件，否則他不會知道究竟是哪種情況，使得孫臏推斷出那兩個數(shù)來。



于是我們可以排除掉C中那些可以用兩種方法表示為S=2^n+p的S，其中n>1，p為素數(shù)。

因為如果S=2^n1+p1=2^n2+p2，無論是(2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這兩種情況，孫臏都

可以由M=2^n1*p1或M=2^n2*p2來斷定出正確的結果，因為由M得到的各種兩數(shù)組合，

只有(2^n,p)這樣的組合，兩數(shù)和才是奇數(shù)，從而在C中，于是孫臏就可以宣布自己知道

了是怎么回事，可龐涓卻還得為(2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這兩種情況犯愁。



因為11=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，37=8+29=32+5，

47=4+43=16+31。于是S的可能值只能在

17 29 41 53

中。讓我們繼續(xù)縮小這個表。



29不可能，因為29=2+27=4+25。無論是(2,27)和(4,25)，孫臏都可以正確判斷出來：

a)如果是(2,27)，M=2*27=2*3*3*3，那么孫可以猜的組合是(2,27)(3,18)(6,9)，

后面兩種對應的S為21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是(2,27)。

b)如果是(4,25)，M=4*25=2*2*5*5，那么孫可以猜的組合是(2,50)(4,25)(5,20)

(10,10)。只有(4,25)的S才在C中。

可是龐涓卻要為孫臏的M到底是2*27還是4*25苦惱。



41不可能，因為41=4+37=10+31。后面推理略。



53不可能，因為53=6+47=16+37。后面推理略。



研究一下17。這下我們得考慮所有17的兩數(shù)和拆法：

(2,15)：那么M=2*15=2*3*5=6*5，而6+5=11也在C中，所以一定不是這個M，否則4)

的條件不能滿足，孫“我現(xiàn)在能夠確定這兩個數(shù)字了”的話說不出來。

(3,14)：那么M=3*14=2*3*7=2*21，而2+21=23也在C中。后面推理略。

(4,13)：那么M=4*13=2*2*13。那么孫可以猜的組合是(2,26)(4,13)，只有(4,13)

的和在C中，所以這種情況孫臏可以說4)中的話。

(5,12)：那么M=5*12=2*2*3*5=3*20，而3+20=23也在C中。后面推理略。

(6,11)：那么M=6*11=2*3*11=2*33，而2+33=35也在C中。后面推理略。

(7,10)：那么M=7*10=2*5*7=2*35，而2+35=37也在C中。后面推理略。

(8,9)：那么M=8*9=2*2*2*3*3=3*24，而3+24=27也在C中。后面推理略。



于是在S=17時，只有(4,13)這種情況，孫臏才可以猜出那兩數(shù)是什么，既然如此，龐涓就知道這兩個數(shù)是什么，說出“我現(xiàn)在也知道這兩個數(shù)字是什么了”。聽了龐涓的話，于是我們也知道，這兩數(shù)該是(4,13)。