古代的人如何運算數(shù)學(xué)的加減乘除

算籌



根據(jù)史書的記載和考古材料的發(fā)現(xiàn)，古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子，一般長為13--14cm，徑粗0．2～0．3cm，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個布袋里，系在腰部隨身攜帶。需要記數(shù)和計算的時候，就把它們?nèi)〕鰜恚旁谧郎?、炕上或地上都能擺弄。別看這些都是一根根不起眼的小棍子，在中國數(shù)學(xué)史上它們卻是立有大功的。而它們的發(fā)明，也同樣經(jīng)歷了一個漫長的歷史發(fā)展過程。



在算籌計數(shù)法中，以縱橫兩種排列方式來表示單位數(shù)目的，其中1-5均分別以縱橫方式排列相應(yīng)數(shù)目的算籌來表示，6-9則以上面的算籌再加下面相應(yīng)的算籌來表示。表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空。這種計數(shù)法遵循十進位制。



算籌的出現(xiàn)年代已經(jīng)不可考，但據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年（公元前722年～公元前221年），一直到算盤發(fā)明推廣之前都是中國最重要的計算工具。



算籌的發(fā)明就是在以上這些記數(shù)方法的歷史發(fā)展中逐漸產(chǎn)生的。它最早出現(xiàn)在何時，現(xiàn)在已經(jīng)不可查考了，但至遲到春秋戰(zhàn)國；算籌的使用已經(jīng)非常普遍了。前面說過，算籌是一根根同樣長短和粗細的小棍子，那么怎樣用這些小棍子來表示各種各樣的數(shù)目呢？



那么為什么又要有縱式和橫式兩種不同的擺法呢？這就是因為十進位制的需要了。所謂十進位制，又稱十進位值制，包含有兩方面的含義。其一是"十進制"，即每滿十?dāng)?shù)進一個單位，十個一進為十，十個十進為百，十個百進為千……其二是"位值制，即每個數(shù)碼所表示的數(shù)值，不僅取決于這個數(shù)碼本身，而且取決于它在記數(shù)中所處的位置。如同樣是一個數(shù)碼"2"，放在個位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我國商代的文字記數(shù)系統(tǒng)中，就已經(jīng)有了十進位值制的蔭芽，到了算籌記數(shù)和運算時，就更是標(biāo)準(zhǔn)的十進位值制了。



按照中國古代的籌算規(guī)則，算籌記數(shù)的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，萬位再用縱式……這樣從右到左，縱橫相間，以此類推，就可以用算籌表示出任意大的自然數(shù)了。由于它位與位之間的縱橫變換，且每一位都有固定的擺法，所以既不會混淆，也不會錯位。毫無疑問，這樣一種算籌記數(shù)法和現(xiàn)代通行的十進位制記數(shù)法是完全一致的。



中國古代十進位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造。把它與世界其他古老民族的記數(shù)法作一比較，其優(yōu)越性是顯而易見的。古羅馬的數(shù)字系統(tǒng)沒有位值制，只有七個基本符號，如要記稍大一點的數(shù)目就相當(dāng)繁難。古美洲瑪雅人雖然懂得位值制，但用的是20進位；古巴比倫人也知道位值制，但用的是60進位。20進位至少需要19個數(shù)碼，60進位則需要59個數(shù)碼，這就使記數(shù)和運算變得十分繁復(fù)，遠不如只用9個數(shù)碼便可表示任意自然數(shù)的十進位制來得簡捷方便。中國古代數(shù)學(xué)之所以在計算方面取得許多卓越的成就，在一定程度上應(yīng)該歸功于這一符合十進位制的算籌記數(shù)法。馬克思在他的《數(shù)學(xué)手稿》一書中稱十進位記數(shù)法為"最妙的發(fā)明之一"，確實是一點也不過分的。



二進制思想的開創(chuàng)國



著名的哲學(xué)家數(shù)學(xué)家萊布尼茨(1646-1716)發(fā)明了對現(xiàn)代計算機系統(tǒng)有著重要意義的二進制，不過他認為在此之前，中國的《易經(jīng)》中已經(jīng)提到了有關(guān)二進制的初步思想。當(dāng)代的許多科學(xué)家認為易經(jīng)中并不含有復(fù)雜的二進制思想，可是這本中國古籍中的一些基本思想和二進制在很大程度上仍然有著千絲萬縷的聯(lián)系。



元始的《靈寶經(jīng)》里面把陰陽定義為陽是自冬至到夏至的上升的氣，陰為從夏至到冬至下降的氣，這是對地球周期運動的最簡練認識。陰陽是一種物質(zhì)認識，后來轉(zhuǎn)化為思想方式，反者道之動等等，都是這種思想的表現(xiàn)。從而開創(chuàng)了對立統(tǒng)一的思想方式，實際上計算機的電子脈沖的思想是與之一致的，采樣定律也是與之一致的。



《易經(jīng)》是我國伏羲、周文王等當(dāng)政者積累觀天測算經(jīng)驗而成的關(guān)于天象氣象和人變易的經(jīng)典，從八卦到六十四卦，就是二進制三位到六位表達，上世紀(jì)八十年代還有四位計算機，可以說，周文王的六十四卦在表達能力上已經(jīng)高于四位計算機。



十進制的使用



《卜辭》中記載說，商代的人們已經(jīng)學(xué)會用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬這13個單字記十萬以內(nèi)的任何數(shù)字，但是現(xiàn)在能夠證實的當(dāng)時最大的數(shù)字是三萬。甲骨卜辭中還有奇數(shù)、偶數(shù)和倍數(shù)的概念。



十進位位值制記數(shù)法包括十進位和位值制兩條原則，"十進"即滿十進一；"位值"則是同一個數(shù)位在不同的位置上所表示的數(shù)值也就不同，如三位數(shù)"111"，右邊的"1"在個位上表示1個一，中間的"1"在十位上就表示1個十，左邊的"1"在百位上則表示1個百。這樣，就使極為困難的整數(shù)表示和演算變得如此簡便易行，以至于人們往往忽略它對數(shù)學(xué)發(fā)展所起的關(guān)鍵作用。



我們有個成語叫"屈指可數(shù)"，說明古代人數(shù)數(shù)確實是離不開手指的，而一般人的手指恰好有十個。因此十進制的使用似乎應(yīng)該是極其自然的事。但實際情況并不盡然。在文明古國巴比倫使用的是60進位制（這一進位制到現(xiàn)在仍留有痕跡，如一分＝60秒等）另外還有采用二十進位制的。古代埃及倒是很早就用10進位制，但他們卻不知道位值制。所謂位值制就是一個數(shù)碼表示什么數(shù)，要看它所在的位置而定。位值制是千百年來人類智慧的結(jié)晶。零是位值制記數(shù)法的精要所在。但它的出現(xiàn)卻并非易事。我國是最早使用十進制記數(shù)法，且認識到進位制的國家。我們的口語或文字表達的數(shù)字也遵守這一原則，比如一百二十七。同時我們對0的認識最早。



十進制是中國人民的一項杰出創(chuàng)造，在世界數(shù)學(xué)史上有重要意義。著名的英國科學(xué)史學(xué)家李約瑟教授曾對中國商代記數(shù)法予以很高的評價，"如果沒有這種十進制，就幾乎不可能出現(xiàn)我們現(xiàn)在這個統(tǒng)一化的世界了"，李約瑟說"總的說來，商代的數(shù)字系統(tǒng)比同一時代的古巴比倫和古埃及更為先進更為科學(xué)。"



分數(shù)和小數(shù)的最早運用



分數(shù)的應(yīng)用



最初分數(shù)的出現(xiàn)，并非由除法而來。分數(shù)被看作一個整體的一部分。"分"在漢語中有"分開""分割"之意。后來運算過程中也出現(xiàn)了分數(shù)，它表示兩整數(shù)比。分數(shù)的加減乘除運算我們小學(xué)就已完全掌握了。很簡單，是不是？不過在七、八百年以前的歐洲，如果你有這種水平那么就可以說相當(dāng)了不起了。那時精通自然數(shù)的四則運算就已達到了學(xué)者水平。至于分數(shù)，對當(dāng)時人來說簡直難于上青天。德國有句諺語形容一個人陷入絕境，就說："掉到分數(shù)里去了"。為什么會如此呢？這都是笨拙的記數(shù)法導(dǎo)致的。在我國古代，《九章算術(shù)》中就有了系統(tǒng)的分數(shù)運算方法，這比歐洲大約早1400年。



西漢時期，張蒼、耿壽昌等學(xué)者整理、刪補自秦代以來的數(shù)學(xué)知識，編成了《九章算術(shù)》。在這本數(shù)學(xué)經(jīng)典的《方田》章中，提出了完整的分數(shù)運算法則。



從后來劉徽所作的《九章算術(shù)注》可以知道，在《九章算術(shù)》中，講到約分、合分（分數(shù)加法）、減分（分數(shù)減法）、乘分（分數(shù)乘法）、除分（分數(shù)除法）的法則，與我們現(xiàn)在的分數(shù)運算法則完全相同。另外，還記載了課分（比較分數(shù)大?。?、平分（求分數(shù)的平均值）等關(guān)于分數(shù)的知識，是世界上最早的系統(tǒng)敘述分數(shù)的著作。



分數(shù)運算，大約在15世紀(jì)才在歐洲流行。歐洲人普遍認為，這種算法起源于印度。實際上，印度在七世紀(jì)婆羅門笈多的著作中才開始有分數(shù)運算法則，這些法則都與《九章算術(shù)》中介紹的法則相同。而劉徽的《九章算術(shù)注》成書于魏景元四年（263年），所以，即使與劉徽的時代相比，我們也要比印度早400年左右。



小數(shù)的最早使用



劉徽在《九章算術(shù)注》中介紹，開方不盡時用十進分數(shù)（徽數(shù)，即小數(shù)）去逼近，首先提出了關(guān)于十進小數(shù)的概念。到公元1300年前后，元代劉瑾所著《律呂成書》中，已將1063****.6312寫成



把小數(shù)部分降低一行寫在整數(shù)部分的后邊。而西方的斯臺汶直到1585年才有十進小數(shù)的概念，且他的表示方法遠不如中國先進，如上述的小數(shù)，他記成或1063****。



九九表的使用



作為啟蒙教材，我們都背過九九乘法表：一一得一、一二得二……九九八十一。而古代是從"九九八十一"開始，因此稱"九九表"。九九表的使用，對于完成乘法是大有幫助的。齊恒公納賢的故事說明，到公元前7世紀(jì)時，九九歌訣已不希罕。也許有人認為這種成績不值一提。但在古代埃及作乘法卻要用倍乘的方式呢。舉個例子。如算23×13，就需要從23開始，加倍得到23×2，23×4，23×8，然后注意到13＝1＋4＋8，于是23＋23×4＋23×8加起來的結(jié)果就是23×13。從比較中不難看出使用九九表的優(yōu)越性了。



根據(jù)考古專家在湖南張家界古人堤漢代遺址出土的簡牘上發(fā)現(xiàn)的漢代"九九乘法表"，竟與現(xiàn)今生活中使用的乘法口訣表有著驚人的一致。這枚記載有"九九乘法表"的簡牘是木質(zhì)的，大約有22厘米長，殘損比較嚴重。此前在湘西里耶古城出土的一枚秦簡上也發(fā)現(xiàn)了距今2200多年的乘法口訣表，并被考證為中國現(xiàn)今發(fā)現(xiàn)的最早的乘法口訣表實物。



除了里耶秦簡外，與張家界古人堤遺址發(fā)現(xiàn)的這枚簡牘樣式基本一致的"九九乘法表"還曾在樓蘭文書中見到過，那是寫在兩張殘紙上的九九乘法表，為瑞典探險家斯文赫定在上個世紀(jì)初期發(fā)掘。



乘法表在古代并非中國一家獨有，古巴比倫的泥版書上也有乘法表。但漢字（包括數(shù)目字）單音節(jié)發(fā)聲的特點，使之讀起來朗朗上口；后來發(fā)展起來的珠算口訣也承繼了這一特點，對于運算速度的提高和算法的改進起到一定作用。



負數(shù)的使用



人們在解方程或其它數(shù)的運算過程中，往往要碰到從較小數(shù)減去較大數(shù)的情形，另外，還遇到了增加與減小，盈余與虧損等互為相反意義的量，這樣，人們自然地引進了負數(shù)。



負數(shù)的引進，是中國古代數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的一個巨大貢獻。在我國古代秦、漢時期的算經(jīng)《九章算術(shù)》的第八章"方程"中，就自由地引入了負數(shù)，如負數(shù)出現(xiàn)在方程的系數(shù)和常數(shù)項中，把"賣（收入錢）"作為正，則"買（付出錢）"作為負，把"余錢"作為正，則"不足錢"作為負。在關(guān)于糧谷計算的問題中，是以益實（增加糧谷）為正，損實（減少糧谷）為負等，并且該書還指出："兩算得失相反，要以正負以名之"。當(dāng)時是用算籌來進行計算的，所以在算籌中，相應(yīng)地規(guī)定以紅籌為正，黑籌為負；或?qū)⑺慊I直列作正，斜置作負。這樣，遇到具有相反意義的量，就能用正負數(shù)明確地區(qū)別了。



在《九章算術(shù)》中，除了引進正負數(shù)的概念外，還完整地記載了正負數(shù)的運算法則，實際上是正負數(shù)加減法的運算法則，也就是書中解方程時用到的"正負術(shù)"即"同名相除，異名相益，正無入正之，負無入負之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。"這段話的前四句說的是正負數(shù)減法法則，后四句說的是正負數(shù)加法法則。它的意思是：同號兩數(shù)相減，等于其絕對值相減；異號兩數(shù)相減，等于其絕對值相加；零減正數(shù)得負數(shù)，零減負數(shù)得正數(shù)。異號兩數(shù)相加，等于其絕對值相減；同號兩數(shù)相加，等于其絕對值相加；零加正數(shù)得正數(shù)，零加負數(shù)得負數(shù)，當(dāng)然，從現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點看，古書中的文字敘述還不夠嚴謹，但直到公元17世紀(jì)以前，這還是正負數(shù)加減運算最完整的敘述。



在國外，負數(shù)出現(xiàn)得很晚，直至公元1150年（比《九章算術(shù)》成書晚l千多年），印度人巴土卡洛首先提到了負數(shù)，而且在公元17世紀(jì)以前，許多數(shù)學(xué)家一直采取不承認的態(tài)度。如法國大數(shù)學(xué)家韋達，盡管在代數(shù)方面作出了巨大貢獻，但他在解方程時卻極力回避負數(shù)，并把負根統(tǒng)統(tǒng)舍去。有許多數(shù)學(xué)家由于把零看作"沒有"，他們不能理解比"沒有"還要"少"的現(xiàn)象，因而認為負數(shù)是"荒謬的"。直到17世紀(jì)，笛卡兒創(chuàng)立了坐標(biāo)系，負數(shù)獲得了幾何解釋和實際意義，才逐漸得到了公認。



從上面可以看出，負數(shù)的引進，是我國古代數(shù)學(xué)家貢獻給世界數(shù)學(xué)的一份寶貴財富。負數(shù)概念引進后，整數(shù)集和有理數(shù)集就完整地形成了。



圓周率的計算



圓周率是數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)之一。對它的計算，可以作為顯示出一個國家古代數(shù)學(xué)發(fā)展的水平的尺度之一。而我國古代數(shù)學(xué)在這方面取得了令世人矚目的成績。



我國古代最初把圓周率取作3，這雖應(yīng)用起來簡便，但太不準(zhǔn)確。在求準(zhǔn)確圓周率值的征途中，首先邁出關(guān)鍵一步的是劉徽。他創(chuàng)立割圓術(shù)，用圓內(nèi)接正多邊形無限逼近圓而求取圓周率值。用這種方法他求得圓周率的近似值為3.14，也有人認為他得到了更好的結(jié)果：3.1416。青出于藍，而勝于藍。后繼者祖沖之利用割圓術(shù)得出了正確的小數(shù)點后七位。而且他還給出了約率與密率。密率的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上卓越的成就，保持了一千多年的世界紀(jì)錄，是一項空前杰作。