祖沖之與圓周率的故事

祖沖之是世界上第一個把圓周率的準(zhǔn)確數(shù)值計算到小數(shù)點(diǎn)以后七位數(shù)字的人。直到一千年后，這個記錄才被阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西和法國數(shù)學(xué)家維葉特所打破。

祖沖之提出的它研究和計算的結(jié)果，證明圓周率應(yīng)該在3.1415****和3.1415****之間，也是直到一千年以后，才由德國稱之為“安托尼茲率”，還有別有用心的人說祖沖之圓周率是在明朝末年西方數(shù)學(xué)傳入中國后偽造的，這是有意的捏造。

記載祖沖之對圓周率研究情況的古籍是成書于唐代的史書《隋書》，而現(xiàn)傳的《隋書》有元朝大德丙午年（公元1306年）的刊本，其中就有和其他現(xiàn)傳版本一樣的關(guān)于祖沖之圓周率的記載，事在明朝末年前三百余年。而且還有不少明朝之前的數(shù)學(xué)家在自己的著作中引用過祖沖之的圓周率，這些事實(shí)都證明了祖沖之在圓周率研究方越的成就。

那么，祖沖之是如何取得這樣重大的科學(xué)成就呢？可以肯定，他的成就是建立在前人研究的基礎(chǔ)之上的。從當(dāng)時的數(shù)學(xué)水平來看，祖沖之很可能是繼承了劉徽所創(chuàng)立和面卓首先使用的割圓術(shù)，并且加以發(fā)展，因此獲得了超越前人的重大成就。

在前面，我們提到割圓術(shù)時已經(jīng)知道了這樣的結(jié)論：圓內(nèi)接正n邊形的邊數(shù)越多，各邊長的總和就越接近圓周的實(shí)際長度。但因?yàn)樗莾?nèi)接的，又不可能把邊數(shù)增加到無限多，所以邊長總和永遠(yuǎn)小于圓周。

祖沖之按照劉徽的割圓術(shù)之法，設(shè)了一個直徑為一丈的圓，在圓內(nèi)切割計算。當(dāng)他切割到圓的內(nèi)接一百九十二邊形時，得到了“徽率”的數(shù)值。但他沒有滿足，繼續(xù)切割，作了三百八十四邊形、七百六十八邊形……一直切割到二萬四千五百七十六邊形，依次求出每個內(nèi)接正多邊形的邊長。最后求得直徑為一丈的圓，它的圓周長度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之間，上面的那些長度單位我們現(xiàn)在已不再通用，但換句話說：如果圓的直徑為1，那么圓周小于3.1415****、大大不到千萬分之一，它們的提出，大大方便了計算和實(shí)際應(yīng)用。

要作出這樣精密的計算，是一項極為細(xì)致而艱巨的腦力勞動。我們知道，在祖沖之那個時代，算盤還未出現(xiàn)，人們普遍使用的計算工具叫算籌，它是一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等各種材料制成。

通過對算籌的不同擺法，來表示各種數(shù)目，叫做籌算法。如果計算數(shù)字的位數(shù)越多，所需要擺放的面積就越大。用算籌來計算不象用筆，筆算可以留在紙上，而籌算每計算完一次就得重新擺動以進(jìn)行新的計算；只能用筆記下計算結(jié)果，而無法得到較為直觀的圖形與算式。

因此只要一有差錯，比如算籌被碰偏了或者計算中出現(xiàn)了錯誤，就只能從頭開始。要求得祖沖之圓周率的數(shù)值，就需要對九位有的小數(shù)進(jìn)行15927加、減、乘、除和開方運(yùn)算等十多個步驟的計算，而每個步驟都要反復(fù)進(jìn)行十幾次，開方運(yùn)算有50次，最后計算出的數(shù)字達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后十六、七位。

今天，即使用算盤和紙筆來完成這些計算，也不是一件輕而易舉的事。讓我們想一想，在一千五百多年前的南朝時代，一位中年人在昏暗的油燈下，手中不停地算呀、記呀，還要經(jīng)常地重新擺放數(shù)以萬計的算籌，這是一件多么艱辛的事情，而且還需要日復(fù)一日地重復(fù)這種狀態(tài)，一個人要是沒有極大的毅力，是絕對完不成這項工作的。

這一光輝成就，也充分反映了我國古代數(shù)學(xué)高度發(fā)展的水平。祖沖之，不僅受到中國人民的敬仰，同時也受到世界各國科學(xué)界人士的推崇。1960年，蘇聯(lián)科學(xué)家們在研究了月球背面的照片以后，用世界上一些最有貢獻(xiàn)的科學(xué)家的名字，來命名那上面的山谷，其中有一座環(huán)形山被命名為“祖沖之環(huán)形山”。

祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現(xiàn)實(shí)意義，適應(yīng)了當(dāng)時生產(chǎn)實(shí)踐的需要。他親自研究過，并用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。

古代有一種量器叫做“釜”，一般的是一尺深，外形呈圓柱狀，那這種量器的容積有多大呢？要想求出這個數(shù)值，就要用到圓周率。祖沖之利用他的研究，求出了精確的數(shù)值。

他還重新計算了漢朝劉歆所造的“律嘉量”（另一種量器，與上面提到的 都是類似于現(xiàn)在我們所用的“升”等量器，但它們都是圓柱體。），由于劉歆所用的計算方法和圓周率數(shù)值都不夠準(zhǔn)確，所以他所得到的容積值與實(shí)際數(shù)值有出入。祖沖之找到他的錯誤所在，利用“祖率”校正了數(shù)值。為人們的日常生活提供了方便。

以后，人們制造量器時就采用了祖沖之的“祖率”數(shù)值。祖沖之在前人的基礎(chǔ)上，經(jīng)過刻苦鉆研，反復(fù)演算，將圓周率推算至小數(shù)點(diǎn)后7位數(shù)，并得出了圓周率分?jǐn)?shù)形式的近似值。

祖沖之究竟用什么方法得出這一結(jié)果，現(xiàn)在無從查考；如果設(shè)想他按劉徽的“割圓術(shù)”方法去求的話，就要計算到圓內(nèi)接16000多邊形，這需要花費(fèi)多少時間和付出多么巨大的勞動啊！

據(jù)《隋書·律歷志》記載，祖沖之以一忽（一丈的一億分之一）為單位，求直徑為一丈的圓的周長，求得盈數(shù)為3.1415****、肭數(shù)為3.1415****，圓周率的真值介于盈肭兩數(shù)之間。

《隋書度量衡》沒有具體說明祖沖之是用什么方法計算出盈肭兩數(shù)的。一般認(rèn)為，祖沖之采用的是劉徽的割圓術(shù)，但也有別的多種猜測。這兩個近似值準(zhǔn)確到小數(shù)第7位，是當(dāng)時世界上最先進(jìn)的成就。

直到一千多年以后，15世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西和16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家F.韋達(dá)才得到更精確的結(jié)果。祖沖之確定了π的兩個漸近分?jǐn)?shù)，約率22/7和密率355/113。

其中密率355/113（≈3.1415****）西方直到16世紀(jì)才由德國人V.奧托發(fā)現(xiàn)。它是三個成對奇數(shù)1133****再折兩段組成，優(yōu)美、規(guī)整、易記。為了紀(jì)念祖沖之的杰出貢獻(xiàn)，有些外國數(shù)學(xué)史家把圓周率π的密率叫做“祖率”。

祖沖之在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成就，只是中國古代數(shù)學(xué)成就的一個方面。實(shí)際上，14世紀(jì)以前中國一直是世界上數(shù)學(xué)最為發(fā)達(dá)的國家之一。比如幾何中的勾股定理，在中國早期的數(shù)學(xué)專著《周髀算經(jīng)》（大約于公元前2世紀(jì)成書）中即有論述；成書于公元1世紀(jì)的另一本重要的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》，在世界數(shù)學(xué)史上最早提出負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則；13世紀(jì)時，中國就已經(jīng)有了十次方程的解法，而直到16世紀(jì)，歐洲才提出三次方程的解法。