橢圓的基本性質(zhì)

一，橢圓作圖

先畫一條直線n，我們稱其為軸或軸線；再畫一條與軸垂直的直線l，我們把它當(dāng)做準(zhǔn)線。在準(zhǔn)線右側(cè)軸上取一點(diǎn)F，我們把它當(dāng)做焦點(diǎn)。

設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為N。在線段NF上取一點(diǎn)A。讓點(diǎn)A位于線段NF中點(diǎn)的右側(cè)即靠近焦點(diǎn)的一側(cè)。則AF/NA<1。這個(gè)值就是離心率e。在軸上點(diǎn)A的右側(cè)取點(diǎn)E。過E作軸的垂線m。測(cè)得線段NE的長度，用它乘以離心率e得一數(shù)r（其實(shí)就是已知成比例的四項(xiàng)中的三項(xiàng)求第四項(xiàng)，這是可以通過尺規(guī)作圖法作出的）。以所得之?dāng)?shù)r為半徑，以點(diǎn)F為圓心作一個(gè)圓，這個(gè)圓與垂線m交于兩點(diǎn)P和P'。讓點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P和P'就描繪出橢圓。見下面的動(dòng)畫。

（二）橢圓的一條重要基本性質(zhì)

下面介紹橢圓的一條重要且基本的性質(zhì)，它是后面所講其他性質(zhì)的基礎(chǔ)。如下圖所示。P、Q是橢圓上任何兩點(diǎn)，連接PQ并延長與準(zhǔn)線交于點(diǎn)R。連接焦點(diǎn)F與P和Q，得線段FP和FQ。再連接FR。則FR為三角形PFQ角F的外角∠QFR'的平分線，即∠1=∠2。

證明：

（1）分別過點(diǎn)P和Q作準(zhǔn)線l的垂線，設(shè)垂足分別為M和M'。于是，根據(jù)橢圓焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的定義，F(xiàn)Q/M'Q=FP/MP，即FQ/FP= M'Q/MP。又因?yàn)槿切蜶QM'與三角形RPM相似，所以M'Q/MP = RQ/RP。所以由這兩個(gè)比式，得出：

FQ/ FP = RQ / RP

（2）如下圖所示。以F為圓以，以FQ為半徑作圓，與FP交于點(diǎn)S。連接QS。所以FQ=FS。代入上面所得的比例式，得：

FS / FP = RQ / RP

這說明

三角形PQS 與 三角形PRF 相似

所以

QS ∥ RF

從而有

∠1 = ∠3， ∠2 = ∠4

而三角形FQS為等腰三角形（因?yàn)镕Q=FS），所以

∠3=∠4

所以

∠1=∠2

即FR平分∠QFR'

（三）焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)（1）

如下圖所示。PP'為橢圓的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）。連接PN和P'N。則軸線平分角PNP'。

證明：

如下圖所示。如果P與P'兩點(diǎn)關(guān)于軸是對(duì)稱的點(diǎn)，那么顯然角PNP'被軸線所平分。下面不妨設(shè)FP>FP'。在橢圓上找到點(diǎn)P'關(guān)于軸線對(duì)稱的點(diǎn)Q。連接PQ，并延長，與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N'。那么，由上一條所講的性質(zhì)，F(xiàn)N' 平分∠QFP'。因點(diǎn)Q和P'關(guān)于軸線對(duì)稱，所以，過焦點(diǎn)F且平分角QFP'的直線就是軸線。所以，點(diǎn)N'就是點(diǎn)N。PN'就是PN。再次利用點(diǎn)Q與點(diǎn)P'關(guān)于軸線對(duì)稱這一條件，就得到

∠QNF = ∠P'NF（圖中紅色角=藍(lán)色角）