光滑流形的標(biāo)準(zhǔn)光滑結(jié)構(gòu)

高維空間中低維點(diǎn)集的測度及低維點(diǎn)集上的積分理論。 20世紀(jì)初測度論的建立，使得人們對Rn中的子集關(guān)于n維勒貝格測度μn的行為有了很好的了解。大部分函數(shù)論由于勒貝格積分論而產(chǎn)生了巨大變化。但是在處理與Rn中低維點(diǎn)集有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)遇到了困難。例如著名的普拉托問題，在二維曲面時(shí)尚可以結(jié)合共形變換和狄利克雷原理巧妙地應(yīng)用勒貝格方法而解決。而在曲面的維數(shù)超出2時(shí),這些經(jīng)典的方法就失敗了。幾何測度論正是在這種背景下產(chǎn)生。它始于1914年C.卡拉西奧多里關(guān)于測度論的基礎(chǔ)性工作，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，熔合了來自分析、幾何、代數(shù)拓?fù)渲械脑S多技巧，產(chǎn)生了許多新的概念，成為數(shù)學(xué)研究的一個(gè)有力工具。 豪斯多夫測度與可求積集合 在卡拉西奧多里的工作出現(xiàn)以后的開始20～30年內(nèi)，大部分的興趣在于了解Rn中的子集關(guān)于m 維豪斯多夫測度, 積分幾何測度等各類測度的行為。對于A嶅Rn,0≤k<∞,δ>0,定義A的k維豪斯多夫測度（簡稱hk測度）為 ，式中。hk測度是Rn中的一個(gè)博雷爾正則測度。又定義inf為A的豪斯多夫維數(shù),簡稱h 維數(shù)。當(dāng)k=n時(shí)，hn(A)=μn(A)，n=0時(shí)h0(A)為A的元素個(gè)數(shù)。0和n中間每個(gè)數(shù)均可出現(xiàn)為Rn中某個(gè)子集的h 維數(shù)。例如康托爾集的h 維數(shù)為ln2/ln3。 設(shè)A的hk測度有限, 在k>0時(shí),若存在Rk中某個(gè)有界子集到 A的李普希茨映射（即二點(diǎn)距離的增長比受到某個(gè)正常數(shù)控制的映射）,那就稱A為k可求積集（k=0時(shí)為有限集，也稱可求積集）。如果A除了一個(gè)hk測度為0的子集外,為可列個(gè)k可求積集合覆蓋,就稱A為(hk,k)可求積集。集合的可求積性質(zhì)是一階光滑流形的某種推廣。事實(shí)上,A為(hk,k)可求積集合的充要條件是：除了一個(gè)hk測度為0的子集外,它可由Rn中可列個(gè)C1類k維子流形所覆蓋。可求積集合的這種描述使得對于它的構(gòu)造的研究，特別是它的射影性質(zhì)的研究成為幾何測度論的重要內(nèi)容。在A不含有hk測度大于0的k可求積子集時(shí),稱A為純粹(hk,k)不可求積集合。 設(shè)p:Rn→Rk為正交射影,即保持內(nèi)積不變的線性映射。其共軛記為p*,它的全體記為(n,k),正交群O(n)=O(n,n)通過右乘可遞地作用在(n, k)上。這個(gè)運(yùn)算在(n,k)上誘導(dǎo)出惟一的不變測度θ*,使得空間(n,k)關(guān)于θ*的全測度等于1，那么當(dāng)A為(hk,k)可求積集合時(shí)，成立 式中。上式右邊即為A的積分幾何測度I，它先在A與n-k維仿射子空間p-1(y)的交集上積分，然后讓p取遍所有正交射影。因此這個(gè)式子反應(yīng)了 (hk，k)可求積集合的射影性質(zhì)。這是求平面曲線長度的克羅夫頓方法的推廣，也類似于柯西尋求凸體周界面積的方法。另一方面, 對于hk測度有限的任何博雷爾集B，總存在博雷爾子集C嶅B,使得，,且(B\C為純粹(hk,k)不可求積。進(jìn)一步,成立,當(dāng)且僅當(dāng)B為(hk,k)可求積。以上這些結(jié)果首先為A.S.貝斯?fàn)柨评锲鎸ζ矫嫔系膆1測度得到。1947年，H.費(fèi)德雷爾證明了一般情形。 在幾何測度論發(fā)展早期就知道，對于Rn中每個(gè)勒貝格可測集W以及Rn到Rk的李普希茨映射?0?6，有面積公式 ，式中Jk?0?6(x)為?0?6的雅可比式。在?0?6為一一時(shí)，右邊的積分就等于hk(?0?6(W)),因此對于n可求積集合,它的hn測度就等于微分幾何中的 n維體積。利用映射在一點(diǎn)“近似可微”這個(gè)概念, 可以將這個(gè)公式推廣到Rn中的(hk,k)可求積集合。但在?0?6(W )的h 維數(shù)小于n時(shí)，公式反映的信息很少。1957年，費(fèi)德雷爾證明：對每個(gè)李普希茨映射,及每個(gè)μn可測集W 成立余面積公式： 。面積公式與余面積公式分別應(yīng)用于目標(biāo)空間的維數(shù)至少為n與至多為n的情形。因此可將它們看成是對偶的公式，余面積公式也已被推廣到(hk,k)可求積集合的情形。這些公式的研究使得人們了解到，關(guān)于可微映射的積分變換的本質(zhì)上的假定在于對這個(gè)映射的雅可比式秩的限制。 密度 密度與近似切錐是描述一個(gè)測度局部行為的兩個(gè)重要概念。對于拉東測度v，以α為心,r為半徑的球關(guān)于v的測度與的比值，在r→0時(shí)的上極限與下極限分別稱為測度v在α點(diǎn)的k維上密度與k維下密度。二者相等時(shí)就稱為k維密度 k(v,α)。利用上密度可以定義集合的近似切錐，它何時(shí)成為向量空間與該集合的可求積性質(zhì)和射影性質(zhì)有著深刻的聯(lián)
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