n個平面最多能把空間分成多少部分

一 首先考慮 n條直線最多把平面分成an部分
于是a0=1 a1=2 a2=4
對于已經(jīng)有n條直線 將平面分成了最多的an塊
那么加一條直線 他最多與前n條直線有n個交點 于是被它穿過的區(qū)域都被一分為二 那么增加的區(qū)域數(shù)就是穿過的區(qū)域數(shù) 也就是這條直線自身被分成的段數(shù) 就是n+1 故a(n+1)=an+n+1
an=n+(n-1)+...+2+a1=n(n+1)/2 +1
二 再考慮n個平面最多把空間分成bn個部分
于是b0=1 b1=2 b2=4
對于已經(jīng)有n個平面 將空間分成了最多的bn塊
那么加入一個平面 它最多與每個平面相交 在它的上面就會得到至多n條交線
同時被它穿過的空間區(qū)域也被它一分為二 那么增加的區(qū)域數(shù)仍舊是它穿過的區(qū)域數(shù) 也就是這個平面自身被直線分割成的塊數(shù) 就是an
于是b(n+1)=bn+an
bn=a(n-1)+b(n-1)=...=a(n-1)+a(n-2)+...+a1+b1
=(n-1)n/2 +(n-2)(n-1)/2+...+1*(1+1)/2+n+2
=求和[1方到(n-1)方]/2 + 求和[1到(n-1)]/2 +n+1
=n(n-1)(2n-1)/12 +n(n-1)/4 +n+1
=n(n+1)(n-1)/6 +n+1
=(n^3+5n+6)/6