拉格朗日中值定理證明

拉格朗日中值定理是微分學(xué)中最重要的定羅爾定理來(lái)證明。理之一，它是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，也是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。一般高等數(shù)學(xué)教材上，大都是用羅爾定理證明拉朗日中值定理，直接給出一個(gè)輔助函數(shù)，把拉格朗日定理的證明歸結(jié)為用羅爾定理，證明的關(guān)鍵是給出—個(gè)輔助函數(shù)。怎樣構(gòu)作這一輔助函數(shù)呢?給出兩種構(gòu)造輔助函數(shù)的
去。羅爾定理：函數(shù)滿足在[a，b止連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)∈，使f(∈)==o
(如圖1)。拉格朗日定理：若f(x)滿足在『a，b』上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a，b)內(nèi)至少存在_
∈，使
(如圖2).
比較定理?xiàng)l件，羅爾定理中端點(diǎn)函數(shù)值相等，f
，而拉格朗日定理對(duì)兩端點(diǎn)函數(shù)值不作限制，即不一定相等。我們要作的輔助函數(shù)，除其他條件外，一定要使端點(diǎn)函數(shù)值相等，才能歸結(jié)為:1.首先分析要證明的等式：
我們令
……(1)則只要能夠證明在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)∈，使f(∈
t就可以了。由
有，f(b)-tb=f(a)-ta……(2)分析(2)式，可以看出它的兩邊分別是F(X)=f(x)-tx在b,a觀點(diǎn)的值。從而，可設(shè)輔助函數(shù)F(x)=f(x)-tx。該函數(shù)F(x)滿足在{a.b{上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且
F(a)=F(b)
。根據(jù)羅爾定理，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈
)=t，代人(1
)得結(jié)論
2.考慮函數(shù)
我們知道其導(dǎo)數(shù)為
且有
F(a)=F(b)=0.作輔助函數(shù)
，該函數(shù)F(x)滿足在[a，b]是連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f
F
。根據(jù)羅爾定理，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)∈，使F’
從而有
結(jié)論成立.