七年級(jí)數(shù)學(xué)冪的運(yùn)算

1.同底數(shù)冪的乘法
2.冪的乘方與積的乘方
3.同底數(shù)冪的除法 1．通過冪的運(yùn)算到多項(xiàng)式乘法的學(xué)習(xí)，初步理解“特殊——一般——特殊”的認(rèn)識(shí)規(guī)律，發(fā)展思維能力。
2．在學(xué)習(xí)冪的運(yùn)算性質(zhì)、乘法法則的過程中，培養(yǎng)觀察、綜合、類比、歸納、抽象、概括等思維能力。 1．同底數(shù)冪的乘法：

同底數(shù)冪的乘法法則是本章中的第一個(gè)冪的運(yùn)算法則，也是整式乘法的主要依據(jù)之一。學(xué)習(xí)這個(gè)法則時(shí)應(yīng)注意以下五個(gè)問題：
（1）先弄清楚底數(shù)、指數(shù)、冪這三個(gè)基本概念的涵義。
（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一個(gè)具體的數(shù)或字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，如：
(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底數(shù)就是一個(gè)二項(xiàng)式(2x+y)。
（3）指數(shù)都是正整數(shù)
（4）這個(gè)法則可以推廣到三個(gè)或三個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘，即am·an·ap....=am+n+p+... (m, n, p都是正整數(shù))。
（5）不要與整式加法相混淆。乘法是只要求底數(shù)相同則可用法則計(jì)算，即底數(shù)不變指數(shù)相加，如：
x5·x4=x^（5+4）=x9；而加法法則要求兩個(gè)相同；底數(shù)相同且指數(shù)也必須相同，實(shí)際上是冪相同系數(shù)相加，
如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。
例1．計(jì)算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5
解：(1) A×Α^2×A^3 分析：①(- )就是(- )1，指數(shù)為1
=A^（1+2+3） ②底數(shù)為- ，不變。
=A^6 ③指數(shù)相加1+2+3=6
= ④乘方時(shí)先定符號(hào)“+”，再計(jì)算 的6次冪
解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5 分析：①-a4與(-a)3不是同底數(shù)冪=-(-a)4·(-a)3·(-a)5 可利用-(-a)4=-a4變?yōu)橥讛?shù)冪
=-a（4+3+5）
=-(-a)12
②本題也可作如下處理：
-a4·(-a)3·(-a)5
-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)
=-a12 =-(a4·a3·a5)=-a12
例2．計(jì)算(1) (x-y)^3(y-x)(y-x)^6
解：(x-y)^3(y-x)(y-x)6 分析：(x-y)3與(y-x)不是同底數(shù)冪
=-(x-y)^3(y-x)(y-x)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6
=-(x-y)（3+1+6 ）變?yōu)?x-y)為底的同底數(shù)冪，再進(jìn)行
=-(x-y)10 計(jì)算。
例3．計(jì)算：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4解：x^5·x^n-3·x^4-3x^2·x^n·x^4 分析：①先做乘法再做減法
=x（5+n-3+4）-3x（2+n+4 ）②運(yùn)算結(jié)果指數(shù)能合并的要合并
=x（6+n）-3x（6+n） ③3x2即為3·(x2)
=(1-3)x6+n ④x 6+n，與-3x6+n是同類項(xiàng)，
=-2x 6+n合并時(shí)將系數(shù)進(jìn)行運(yùn)算(1-3)=-2
底數(shù)和指數(shù)不變。
2．冪的乘方(am)^n=amn，與積的乘方(ab)^n=a^nb^n
(1)冪的乘方，(am)^n=amn，(m, n都為正整數(shù))運(yùn)用法則時(shí)注意以下以幾點(diǎn)：
①冪的底數(shù)a可以是具體的數(shù)也可以是多項(xiàng)式。如[(x+y)2]3的底數(shù)為(x+y)，是一個(gè)多項(xiàng)式，
[(x+y)2]3=(x+y)6
②要和同底數(shù)冪的乘法法則相區(qū)別，不要出現(xiàn)下面的錯(cuò)誤。如：
(a3)4=a7； [(-a)3]4=(-a)7； a3·a4=a12
(2)積的乘方(ab)^n=a^nb^n，（n為正整數(shù)）運(yùn)用法則時(shí)注意以下幾點(diǎn)：
①注意與前二個(gè)法則的區(qū)別：積的乘方等于將積的每個(gè)因式分別乘方（即轉(zhuǎn)化成若干個(gè)冪的乘方），再把所得的冪相乘。
②積的乘方可推廣到3個(gè)以上因式的積的乘方，如：(-3a2b)3如(a1·a2·…….an)m=a1m·a2m·…….anm
例4．計(jì)算：①(a2m)n ②(am+n)m ③(-x2yz3)3 ④-(ab)8
解：①(a2m)n分析：①先確定是冪的乘方運(yùn)算
=a(2m)n ②用法則底數(shù)a 不變指數(shù)2m和n相乘
=a2mn
②a（m+n)m 分析：①底數(shù)a不變，指數(shù)(m+n)與m相乘
=a（m+n)m
= ②運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算。
③(-x2yz3)3 分析：①底數(shù)有四個(gè)因式：(-1), x2, y, z3
=(-1)3(x2)3y3(z3)3 分別3次方
=-x6y3z9 ②注意(-1)3=-1, (x2)3=x（2×3） =x6
④-(ab)8 分析：①8次冪的底數(shù)是ab。
=-(a8b8) ②“-”在括號(hào)的外邊先計(jì)算(ab)8
=-a8b8再在結(jié)果前面加上“-”號(hào)。
例5．當(dāng)ab= ，m=5, n=3, 求(ambm)n的值。
解：∵(ambm)n 分析：①對(duì)(ab)n=anbn會(huì)從右向左進(jìn)行逆=[(ab)m]n 運(yùn)算 ambm=(ab)m
=(ab)mn ②將原式的底數(shù)轉(zhuǎn)化為ab，才可將ab
∴ 當(dāng)m=5, n=3時(shí)， 代換成 。
∴ 原式=( )5×3 ( )15應(yīng)將 括起來不能寫成 15。
=( )15
例6．若a3b2=15，求-5a6b4的值。
解：-5a6b4 分析：a6b4=(a3b2)2
=-5（a3b2)2 應(yīng)用(ab)n anbn
=-5(15)2
=-1125
例7．如果3m+2n=6，求8m·4n的值。
解：8m·4n 分析：①8m=(23)m=23m
=(23)m·(22)n 4n=(22)n=22n=23m·22n ②式子中出現(xiàn)3m+2n可用6
=23m+2n 來代換
=26=64
3. 同底數(shù)冪的除法：
（1）同底數(shù)冪的除法：am÷an=a（m-n） (a≠0, m, n均為正整數(shù)，并且m>n)
①同底數(shù)冪的除法是整式除法的基礎(chǔ)，要熟練掌握。同底數(shù)冪的除法法則是根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算歸納總結(jié)出來的，和前面講的冪的運(yùn)算的三個(gè)法則相比，在這里底數(shù)a是不能為零的，否則除數(shù)為零，除法就沒有意義了。又因?yàn)樵谶@里沒有引入負(fù)指數(shù)和零指數(shù)，所以又規(guī)定m>n。能從特殊到一般地歸納出同底數(shù)冪的除法法則。
②同底數(shù)冪的兩個(gè)冪相除，如果被除式的指數(shù)與除式的指數(shù)相等，那么商等于1，即am÷an=1,m是任意自然數(shù)。a≠0, 即轉(zhuǎn)化成a0=1(a≠0)。
③同底數(shù)冪的兩個(gè)冪相除，如果被除式的指數(shù)小于除式的指數(shù)，即m-n<0時(shí)，指數(shù)部分為負(fù)整數(shù)則轉(zhuǎn)化成負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則。
④要注意和其它幾個(gè)冪的運(yùn)算法則相區(qū)別。
⑤還應(yīng)強(qiáng)調(diào)：am·an=am+n與am+n÷an=am的互逆運(yùn)算關(guān)系，同時(shí)指數(shù)的變化也是互逆運(yùn)算關(guān)系，應(yīng)溝通兩者的聯(lián)系。
（2）零指數(shù)：a0=1 (a≠0)
①條件是a≠0，00無(wú)意義。
②它是由am÷an=am-n當(dāng)a≠0，m=n時(shí)轉(zhuǎn)化而來的。也就是說當(dāng)同底數(shù)冪相除時(shí)，被除式指數(shù)與除式的指數(shù)相等時(shí)即轉(zhuǎn)化成零指數(shù)冪，它的結(jié)果為1。
（3）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a-p= (a≠0, p是正整數(shù)）①當(dāng)a=0時(shí)沒有意義，0-2, 0-3都無(wú)意義。
②它是由am÷an=am-n當(dāng)a≠0, m同底數(shù)冪的除法：底數(shù)不變，指數(shù)相減冪的乘方；
冪的指數(shù)乘方：等于各因數(shù)分別乘方的積商的乘方
分式乘方：分子分母分別乘方，指數(shù)不變。

冪的運(yùn)算所有公式如下：

1、同底數(shù)冪相乘：a^m·a^n=a^（m+n）。

2、冪的乘方：（a^m）n=a^mn。

3、積的乘方：（ab）＾m=a^m·b^m。

4、同底數(shù)冪相除：a^m÷a^n=a^（m-n）（a≠0）。

5、a^（m+n）＝a^m·a^n。

6、a^mn=（a^m）·n。

7、a^m·b^m=（ab）＾m。

8、a^（m-n）＝a^m÷a^n（a≠0）。

同底數(shù)冪相乘的性質(zhì)：

同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

通過冪的運(yùn)算到多項(xiàng)式乘法的學(xué)習(xí)，初步理解“特殊—一般—特殊”的認(rèn)識(shí)規(guī)律，發(fā)展思維能力。在學(xué)習(xí)冪的運(yùn)算性質(zhì)、乘法法則的過程中，培養(yǎng)觀察、綜合、類比、歸納、抽象、概括等思維能力。

法則口訣：

同底數(shù)冪的乘法：底數(shù)不變，指數(shù)相加冪的乘方。

同底數(shù)冪的除法：底數(shù)不變，指數(shù)相減冪的乘方。

冪的指數(shù)乘方：等于各因數(shù)分別乘方的積商的乘方。

分式乘方：分子分母分別乘方，指數(shù)不變。

冪的運(yùn)算六個(gè)基本公式是如下：

1、同底數(shù)冪相乘：a^m·a^n=a^(m+n)

2、冪的乘方：(a^m)n=a^mn

3、積的乘方：(ab)^m=a^m·b^m

4、同底數(shù)冪相除：a^m÷a^n=a^(m-n)(a≠0)

5、a^(m+n)=a^m·a^n

6、a^mn=(a^m)·n

同底數(shù)冪相乘的性質(zhì)：

同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

通過冪的運(yùn)算到多項(xiàng)式乘法的學(xué)習(xí)，初步理解“特殊—一般—特殊”的認(rèn)識(shí)規(guī)律，發(fā)展思維能力。在學(xué)習(xí)冪的運(yùn)算性質(zhì)、乘法法則的過程中，培養(yǎng)觀察、綜合、類比、歸納、抽象、概括等思維能力。