反三角函數(shù)公式求導(dǎo)

導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的轉(zhuǎn)換公式，詳細(xì)介紹如下：

一、轉(zhuǎn)換公式：

已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)公式y(tǒng)=f(x)=c(c為常數(shù))，則f'(x)=0，f(x)=x^n(n不等于0)，f'(x)=nx^(n-1)(x^n表示x的n次方)，f(x)=sinx，f'(x)=cosx，f(x)=cosx，f'(x)=-sinx，f(x)=a^x，f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)。

f(x)=e^x，f'(x)=e^x，f(x)=logaX，f'(x)=1/xlna(a>0且a不等于1,x>0)，f(x)=lnx，f'(x)=1/x(x>0)，f(x)=tanx，f'(x)=1/cos^2x，f(x)=cotx，f'(x)=-1/sin^2x。

二、知識拓展：

函數(shù)數(shù)學(xué)術(shù)語，定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)，近代定義是從集合映射的觀點(diǎn)出發(fā)。

函數(shù)最早由中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯，出于其著作《代數(shù)學(xué)》，之所以這么翻譯，他給出的原因是凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)，也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，或者說一個量中包含另一個量。

輸入值的集合被稱為f的定義域，可能的輸出值的集合被稱為f的值域，函數(shù)的值域是指定義域中全部元素通過映射f得到的實際輸出值的集合，注意把對應(yīng)域稱作值域是不正確的，函數(shù)的值域是函數(shù)的對應(yīng)域的子集。

高階函數(shù)求導(dǎo)萊布尼茲公式是(uv)(n)=u(n)v+nu(n-1)v'+n(n-1)/2!u(n-2)v"+n(n-1)...(n-k+1)u(n-k)v(k)+...+uv(n)。

任意階導(dǎo)數(shù)的計算：

對任意n階導(dǎo)數(shù)的計算，由于 n 不是確定值，自然不可能通過逐階求導(dǎo)的方法計算。此外，對于固定階導(dǎo)數(shù)的計算，當(dāng)其階數(shù)較高時也不可能逐階計算。

所謂n階導(dǎo)數(shù)的計算實際就是要設(shè)法求出以n為參數(shù)的導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式。求n階導(dǎo)數(shù)的參數(shù)表達(dá)式并沒有一般的方法，最常用的方法是，先按導(dǎo)數(shù)計算法求出若干階導(dǎo)數(shù)，再設(shè)法找出其間的規(guī)律性，并導(dǎo)出n的參數(shù)關(guān)系式。

常見的8個高階導(dǎo)數(shù)公式如圖所示：

從概念上講，高階導(dǎo)數(shù)計算就是連續(xù)進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)的計算。因此只需根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)計算規(guī)則逐階求導(dǎo)就可以了，但從實際計算角度看，卻存在兩個方面的問題：

（1）一是對抽象函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)計算，隨著求導(dǎo)次數(shù)的增加，中間變量的出現(xiàn)次數(shù)會增多，需注意識別和區(qū)分各階求導(dǎo)過程中的中間變量。

（2）二是逐階求導(dǎo)對求導(dǎo)次數(shù)不高時是可行的，當(dāng)求導(dǎo)次數(shù)較高或求任意階導(dǎo)數(shù)時，逐階求導(dǎo)實際是行不通的，此時需研究專門的方法。

導(dǎo)函數(shù)的基數(shù)絕本公式如下。

1、c'=0(c為常數(shù)）。

2、（x^a)'=ax^(a-1),a為常數(shù)且a≠行畢旦0。

3、（檔擾a^x)'=a^xlna。

4、（e^x)'=e^x。

5、（logax)'=1/(xlna),a>0且a≠1。

6、（lnx)'=1/x。

7、（sinx)'=cosx。

8、（cosx)'=-sinx。

9、（tanx)'=(secx)^2。

10、（secx)'=secxtanx。

11、（cotx)'=-(cscx)^2。

12、（cscx)'=-csxcotx。

13、（arcsinx)'=1/√（1-x^2)。

14、（arccosx)'=-1/√（1-x^2)。

15、（arctanx)'=1/(1+x^2)。

16、（arccotx)'=-1/(1+x^2)。

17、（shx)'=chx。

18、（chx)'=shx。

19、（uv)'=uv'+u'v。

20、（u+v)'=u'+v'。

導(dǎo)函數(shù)的基本公式如圖所示：

求導(dǎo)法則：

1、求導(dǎo)的線性：對函數(shù)的線性組合求導(dǎo)，等于先對其中每個部分求導(dǎo)后再取線性組合（即①式）。

2、兩個函數(shù)的乘積的導(dǎo)函數(shù)：一導(dǎo)乘二+一乘二導(dǎo)（即②式）。

3、兩個函數(shù)的商的導(dǎo)函數(shù)也是一個分式：（子導(dǎo)乘母-子乘母導(dǎo)）除以母平方（即③式）。

4、如果有復(fù)合函數(shù)，則用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)。

點(diǎn)b處的左導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，f'(x)為區(qū)間[a,b]上的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。

函數(shù)可導(dǎo)的條件：

如果一個函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，即函數(shù)在其上都有定義。函數(shù)在定義域中一點(diǎn)可導(dǎo)需要一定的條件：函數(shù)在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，不能證明這點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，只有左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，并且在該點(diǎn)連續(xù)，才能證明該點(diǎn)可導(dǎo)。

可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

形如y=k/x（k≠0）的函數(shù)叫作反比例函數(shù)。它表達(dá)式是y=k/x。含義是：當(dāng)k>0時，y隨著x的增大而減少，隨著x的減小而增大當(dāng)k。

反比例函數(shù)性質(zhì)

1、單調(diào)性

當(dāng)k>0時，圖象分別位于第一、三象限，每一個象限內(nèi)，從左往右，y隨x的增大而減小。

當(dāng)k<0時，圖象分別位于第二、四象限，每一個象限內(nèi)，從左往右，y隨x的增大而增大。

k>0時，函數(shù)在x<0上為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù)；k<0時，函數(shù)在x<0上為增函數(shù)、在x>0上同為增函數(shù)。

2、相交性

因為在(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，只能無限接近x軸，y軸。

指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)。

對數(shù)函數(shù)的一般形式為y=logax，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)（圖象關(guān)于直線y=x對稱的兩函數(shù)互為反函數(shù)），可表示為x=a^y。

因此指數(shù)函數(shù)里對于a存在規(guī)定——a>0且a≠1，對于不同大小a會形成不同的函數(shù)圖形：關(guān)于X軸對稱、當(dāng)a>1時，a越大，圖像越靠近x軸、當(dāng)0

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：

值域：實數(shù)集R，顯然對數(shù)函數(shù)無界。

定點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)（1，0）。

單調(diào)性：a>1時，在定義域上為單調(diào)增函數(shù)。

0

奇偶性：非奇非偶函數(shù)。

周期性：不是周期函數(shù)。

對稱性：無。

最值：無。

零點(diǎn)：x=1。

注意：負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)。

兩句經(jīng)典話：底真同對數(shù)正，底真異對數(shù)負(fù)。

證明如下：

假設(shè)我們要求f(g(x))對x的導(dǎo)數(shù)，且f(g(x))和g(x)均可導(dǎo)。

首先，根據(jù)定義：當(dāng)h->0時，g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，當(dāng)h->0時，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0

設(shè)v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)

就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h

同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k

所以，f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h （其實就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h）

所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h?f(g(x)))/h

=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]

當(dāng)h->0時，u和v都->0，這個容易看。

所以當(dāng)h->0時，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]

=f'(g(x))·g'(x)

然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)

證畢

簡介

不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)，只有當(dāng)Mx∩Du≠?時，二者才可以構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)。
設(shè)函數(shù)y=f(u）的定義域為Du，值域為Mu，函數(shù)u=g(x）的定義域為Dx，值域為Mx，如果Mx∩Du≠?，那么對于Mx∩Du內(nèi)的任意一個x經(jīng)過u。

有唯一確定的y值與之對應(yīng)，則變量x與y之間通過變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)(composite function)，記為：y=f[g(x)]，其中x稱為自變量，u為中間變量，y為因變量（即函數(shù)）。