二階線性微分方程

二階線性微分方程是指未知函數及其一階、二階導數都是一次方的二階方程。

二階線性微分方程的求解方式分為兩類，一是二階線性齊次微分方程，二是線性非齊次微分方程。前者主要是采用特征方程求解，后者在對應的齊次方程的通解上加上特解即為非齊次方程的通解。

二階微分方程的通解公式有以下：

第一種：由y2-y1=cos2x-sin2x是對應齊方程的解可推出cos2x、sin2x均為齊方程的解，故猛哪可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。

第二種：通解是一個解集……包含了所有符合這個方程的含神解；n階微分方程就帶有n個常數，與是否線性無關，通解只有一個，枝老碼但是表達形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的話y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。

第三種：先求對應的齊次方程2y''+y'-y=0的通解。

二階非齊次線性微分方程的通解如下：

y1,y2,y3是二階微分方程的三個解，則：y2-y1,y3-y1為該方程的兩個線性無關解，因此通解為：y=y1+C1(y2-y1)+C2(y3-y1)。

方程通解為：y=1+C1(x-1)+C2(x^2-1)。

二階常系數線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實常數。自由項f(x)為定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數，即y''+py'+qy=0時，稱為二階常系數齊次線性微分方程。

若函數y1和y2之比為常數，稱y1和y2是線性相關的；若函數y1和y2之比不為常數，稱y1和y2是線性無關的。特征方程為：λ^2+pλ+q=0，然后根據特征方程根的情況對方程求解。

常微分方程在高等數學中已有悠久的歷史，由于它扎根于各種各樣的實際問題中，所以繼續(xù)保持著前進的動力。

二階常系數常微分方程在常微分方程理論中占有重要地位，在工程技術及力學和物理學中都有十分廣泛的應用。比較常用的求解方法是待定系數法、多項式法、常數變易法和微分算子法等。

二階非齊次線性微分方程的通解如下：

y1,y2,y3是二階微分方程的三個解，則：y2-y1,y3-y1為該方程的兩個線性無關解，因此通解為：y=y1+C1(y2-y1)+C2(y3-y1)。

方程通解為：y=1+C1(x-1)+C2(x^2-1)。

二階常系數線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實常數。自由項f(x)為定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數，即y''+py'+qy=0時，稱為二階常系數齊次線性微分方程。

若函數y1和y2之比為常數，稱y1和y2是線性相關的；若函數y1和y2之比不為常數，稱y1和y2是線性無關的。特征方程為：λ^2+pλ+q=0，然后根據特征方程根的情況對方程求解。

常微分方程在高等數學中已有悠久的歷史，由于它扎根于各種各樣的實際問題中，所以繼續(xù)保持著前進的動力。

二階常系數常微分方程在常微分方程理論中占有重要地位，在工程技術及力學和物理學中都有十分廣泛的應用。比較常用的求解方法是待定系數法、多項式法、常數變易法和微分算子法等。

y''-y'-2y=e^x-2xe^x。

某二階線性非齊次微分方程的三個解:

y1=xe^x,,,,,y2=xe^x+e^-x,,,,y3=xe^x+e^2x-e^-x

那么y2-y1=e^-x,y3-y2=e^2x是二階線性齊次微分方程的兩個解:，故二階線性齊次微分方程的特解C1e^-x+C2e^2x，-1,2是特征根，二階線性齊次微分方程為：y''-y'-2y=0

設y''-y'-2y=f(x),y1=xe^x是解，代入得：

f(x)=2e^x+xe^x-xe^x-e^x-2xe^x=e^x-2xe^x

所求非齊次微分方程：y''-y'-2y=e^x-2xe^x

簡介

微分方程是伴隨著微積分學一起發(fā)展起來的。微積分學的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過與微分方程有關的問題。微分方程的應用十分廣泛，可以解決許多與導數有關的問題。

物理中許多涉及變力的運動學、動力學問題，如空氣的阻力為速度函數的落體運動等問題，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化學、工程學、經濟學和人口統(tǒng)計等領域都有應用。

魔方教程二階教程如下：

第一種公式是：上順，右順，上逆，右逆，上逆，前逆，上順，前順。第二種是：上逆，前逆，上順，前順，上順，右順，上逆，右逆。

二階魔方是一種比較簡單的魔方，又稱口袋魔方、迷你魔方、小魔方、冰塊魔方，是2×2×2的立方體結構。本身只有8個角塊，沒有其他結構的方塊。

魔方在還原的時候都是按照公式轉動的，比較基礎的魔方就是三階魔方，很多高階的魔方和特殊魔方都是按照三階魔方的還原方法進行還原的。

二階魔方的定位：

偶數階魔方和奇數階魔方的差別在于，奇數階魔方的中心塊是固定的，整個魔方六個面的顏色也就固定了。

還原底層角塊，將底層的4個角塊都復原，假設以白色為底，白色塊只會有5個位置，這些位置要么是對稱的，要么很容易變成前面的位置。還原頂面顏色，這一步要還原4個角塊頂面的顏色，而先不用管頂層側面的顏色，把它們留到最后一步還原。還原頂層角塊，完成還原。這一步要將頂層4個側面的顏色一次性復原，完成魔方的還原。

向左轉|向右轉

三階魔方的玩法口訣是：底部架十字，底角歸位，中棱歸位，頂層架十字，頂面復原，頂角歸位，頂棱歸位。 玩三階魔方是有技巧的，最主要的是確定三階魔方的中心，任意挑選一個顏色，然后在這個顏色的中心色塊所在的平面，找到這個平面上的邊緣方塊，一共有四塊邊緣方塊，分別確定它們的定位和定向。 這四個邊緣方塊就能夠確定出頂面邊緣，然后確定頂面邊角的定位和定向。 在轉動的過程中頂面邊緣的方塊會被移出平面，到了后期會慢慢逐漸還原。 做好之后再給頂面下面的邊緣方塊定位和定向，也就是中層的方塊的還原，最后才是底面方塊的還原，要逐步分次分組完成。