什么叫平行四邊形？

平行四邊形，是在同一個(gè)二維平面內(nèi)，由兩組平行線段組成的閉合圖形。平行四邊形一般用圖形名稱加四個(gè)頂點(diǎn)依次命名。注：在用字母表示四邊形時(shí)，一定要按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蜃⒚鞲黜旤c(diǎn)。

在歐幾里德幾何中，平行四邊形是具有兩對(duì)平行邊的簡(jiǎn)單（非自相交）四邊形。 平行四邊形的相對(duì)或相對(duì)的側(cè)面具有相同的長(zhǎng)度，并且平行四邊形的相反的角度是相等的。

相比之下，只有一對(duì)平行邊的四邊形是梯形。平行四邊形的三維對(duì)應(yīng)是平行六面體。

中文名
平行四邊形
外文名
Parallelogram
特點(diǎn)
對(duì)邊平行且相等、容易變形
類別
平面圖形
性質(zhì)1
兩組對(duì)邊分別相等
定義
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
1、平行四邊形屬于平面圖形。
2、平行四邊形屬于四邊形。
3、平行四邊形屬于中心對(duì)稱圖形。
性質(zhì)
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。）

矩形
（1）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等。
（簡(jiǎn)述為“平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”[1]）
（2）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等。
（簡(jiǎn)述為“平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等”）
（3）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的鄰角互補(bǔ)。
（簡(jiǎn)述為“平行四邊形的鄰角互補(bǔ)”）
（4）夾在兩條平行線間的平行的高相等。（簡(jiǎn)述為“平行線間的高距離處處相等”）
（5）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分。
（簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”）
（6）連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)所得圖形是平行四邊形。（推論）
（7）平行四邊形的面積等于底和高的積。（可視為矩形。）
（8）過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。
（9）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn).
（10）平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，但平行四邊形是中心對(duì)稱圖形。矩形和菱形是軸對(duì)稱圖形。注：正方形，矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形，三者具有平行四邊形的性質(zhì)。
（11）平行四邊形ABCD中（如圖）E為AB的中點(diǎn)，則AC和DE互相三等分，一般地，若E為AB上靠近A的n等分點(diǎn)，則AC和DE互相(n+1)等分。
（12）平行四邊形ABCD中，AC、BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，則各四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和。
（13）平行四邊形對(duì)角線把平行四邊形面積分成四等份。
（14）平行四邊形中，兩條在不同對(duì)邊上的高所組成的夾角，較小的角等于平行四邊形中較小的角，較大的角等于平行四邊形中較大的角。
（15）平行四邊形的面積等于相鄰兩邊與其夾角正弦的乘積
其他性質(zhì)
平行四邊形的對(duì)邊是平行的（根據(jù)定義），因此永遠(yuǎn)不會(huì)相交。
平行四邊形的面積是由其對(duì)角線之一創(chuàng)建的三角形的面積的兩倍。
平行四邊形的面積也等于兩個(gè)相鄰邊的矢量交叉乘積的大小。
任何通過(guò)平行四邊形中點(diǎn)的線將該區(qū)域平分。
任何非簡(jiǎn)并仿射變換都采用平行四邊形的平行四邊形。
平行四邊形具有2階（至180°）的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性（如果是正方形則為4階）。如果它也具有兩行反射對(duì)稱性，那么它必須是菱形或長(zhǎng)方形（非矩形矩形）。如果它有四行反射對(duì)稱，它是一個(gè)正方形。
平行四邊形的周長(zhǎng)為2（a + b），其中a和b為相鄰邊的長(zhǎng)度。
與任何其他凸多邊形不同，平行四邊形不能刻在任何小于其面積的兩倍的三角形。
在平行四邊形的內(nèi)側(cè)或外部構(gòu)造的四個(gè)正方形的中心是正方形的頂點(diǎn)。
如果與扒盯差平行四邊形平行的兩條線與對(duì)角線并行構(gòu)成，則在該對(duì)角線的相對(duì)側(cè)上形成的平行四邊形面積相等
平行四邊形的對(duì)角線將其分成四個(gè)相等面積的三角形。
判定
1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義判定法）；
2、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
3、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
4、兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形（兩組對(duì)邊平行判定）；
5、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
補(bǔ)充：條件3僅在平面四邊形時(shí)成立，如果不是平面四邊形，即使是兩組對(duì)邊分別相等的四邊形，也不是平行四邊形。
輔助線
一、連接對(duì)角線或平移對(duì)角線。
二、過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)成直角三角形。
三、連接對(duì)角線交點(diǎn)春皮與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線則腔交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)成線段平行或中位線。
四、連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造相似三角形或等積三角形。
五、過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等。
相關(guān)計(jì)算
1、（1）平行四邊形的面積公式：底×高（可運(yùn)用割補(bǔ)法，推導(dǎo)方法如圖）；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四邊形面積，則S平行四邊形=a*h。
（2）平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以?shī)A角的正弦值；如用“a”“b”表示兩組鄰邊長(zhǎng)，α表示兩邊的夾角，“S”表示平行四邊形的面積，則S平行四邊形=ab*sinα。

平行四邊形
2、平行四邊形周長(zhǎng)：四邊之和。可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四邊形周長(zhǎng)，則平行四邊的周長(zhǎng)c=2(a+b)。
特殊的平行四邊形
矩形
定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。
判定：
1、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；
2、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；
3、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；
4、對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形。
性質(zhì)：
1、矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；
2、矩形的對(duì)角線相等；
3、矩形的四個(gè)角都是90度；
4、矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)。
菱形
定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
判定：
1、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
2、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
3、四邊相等的四邊形是菱形。
性質(zhì)：
1、菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；
2、菱形四邊相等；
3、菱形每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；
4、菱形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形。
正方形
定義：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。
判定：
1、一組鄰邊相等的矩形是正方形；
2、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；
3、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；
4、對(duì)角線相等的菱形是正方形。
性質(zhì)：
正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì)。