古代的人如何運(yùn)算數(shù)學(xué)的加減乘除

算籌

根據(jù)史書的記載和考古材料的發(fā)現(xiàn)，古代的算籌實(shí)際上是一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子，一般長(zhǎng)為13--14cm，徑粗0．2～0．3cm，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個(gè)布袋里，系在腰部隨身攜帶。需要記數(shù)和計(jì)算的時(shí)候，就把它們?nèi)〕鰜?，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。別看這些都是一根根不起眼的小棍子，在中國(guó)數(shù)學(xué)史上它們卻是立有大功的。而它們的發(fā)明，也同樣經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的歷史發(fā)展過程。

在算籌計(jì)數(shù)法中，以縱橫兩種排列方式來表示單位數(shù)目的，其中1-5均分別以縱橫方式排列相應(yīng)數(shù)目的算籌來表示，6-9則以上面的算籌再加下面相應(yīng)的算籌來表示。表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空。這種計(jì)數(shù)法遵循十進(jìn)位制。

算籌的出現(xiàn)年代已經(jīng)不可考，但據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年（公元前722年～公元前221年），一直到算盤發(fā)明推廣之前都是中國(guó)最重要的計(jì)算工具。

算籌的發(fā)明就是在以上這些記數(shù)方法的歷史發(fā)展中逐漸產(chǎn)生的。它最早出現(xiàn)在何時(shí)，現(xiàn)在已經(jīng)不可查考了，但至遲到春秋戰(zhàn)國(guó)；算籌的使用已經(jīng)非常普遍了。前面說過，算籌是一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子，那么怎樣用這些小棍子來表示各種各樣的數(shù)目呢？

那么為什么又要有縱式和橫式兩種不同的擺法呢？這就是因?yàn)槭M(jìn)位制的需要了。所謂十進(jìn)位制，又稱十進(jìn)位值制，包含有兩方面的含義。其一是"十進(jìn)制"，即每滿十?dāng)?shù)進(jìn)一個(gè)單位，十個(gè)一進(jìn)為十，十個(gè)十進(jìn)為百，十個(gè)百進(jìn)為千……其二是"位值制，即每個(gè)數(shù)碼所表示的數(shù)值，不僅取決于這個(gè)數(shù)碼本身，而且取決于它在記數(shù)中所處的位置。如同樣是一個(gè)數(shù)碼"2"，放在個(gè)位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我國(guó)商代的文字記數(shù)系統(tǒng)中，就已經(jīng)有了十進(jìn)位值制的蔭芽，到了算籌記數(shù)和運(yùn)算時(shí)，就更是標(biāo)準(zhǔn)的十進(jìn)位值制了。

按照中國(guó)古代的籌算規(guī)則，算籌記數(shù)的表示方法為：個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，萬(wàn)位再用縱式……這樣從右到左，縱橫相間，以此類推，就可以用算籌表示出任意大的自然數(shù)了。由于它位與位之間的縱橫變換，且每一位都有固定的擺法，所以既不會(huì)混淆，也不會(huì)錯(cuò)位。毫無(wú)疑問，這樣一種算籌記數(shù)法和現(xiàn)代通行的十進(jìn)位制記數(shù)法是完全一致的。

中國(guó)古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造。把它與世界其他古老民族的記數(shù)法作一比較，其優(yōu)越性是顯而易見的。古羅馬的數(shù)字系統(tǒng)沒有位值制，只有七個(gè)基本符號(hào)，如要記稍大一點(diǎn)的數(shù)目就相當(dāng)繁難。古美洲瑪雅人雖然懂得位值制，但用的是20進(jìn)位；古巴比倫人也知道位值制，但用的是60進(jìn)位。20進(jìn)位至少需要19個(gè)數(shù)碼，60進(jìn)位則需要59個(gè)數(shù)碼，這就使記數(shù)和運(yùn)算變得十分繁復(fù)，遠(yuǎn)不如只用9個(gè)數(shù)碼便可表示任意自然數(shù)的十進(jìn)位制來得簡(jiǎn)捷方便。中國(guó)古代數(shù)學(xué)之所以在計(jì)算方面取得許多卓越的成就，在一定程度上應(yīng)該歸功于這一符合十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法。馬克思在他的《數(shù)學(xué)手稿》一書中稱十進(jìn)位記數(shù)法為"最妙的發(fā)明之一"，確實(shí)是一點(diǎn)也不過分的。

二進(jìn)制思想的開創(chuàng)國(guó)

著名的哲學(xué)家數(shù)學(xué)家萊布尼茨(1646-1716)發(fā)明了對(duì)現(xiàn)代計(jì)算機(jī)系統(tǒng)有著重要意義的二進(jìn)制，不過他認(rèn)為在此之前，中國(guó)的《易經(jīng)》中已經(jīng)提到了有關(guān)二進(jìn)制的初步思想。當(dāng)代的許多科學(xué)家認(rèn)為易經(jīng)中并不含有復(fù)雜的二進(jìn)制思想，可是這本中國(guó)古籍中的一些基本思想和二進(jìn)制在很大程度上仍然有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。

元始的《靈寶經(jīng)》里面把陰陽(yáng)定義為陽(yáng)是自冬至到夏至的上升的氣，陰為從夏至到冬至下降的氣，這是對(duì)地球周期運(yùn)動(dòng)的最簡(jiǎn)練認(rèn)識(shí)。陰陽(yáng)是一種物質(zhì)認(rèn)識(shí)，后來轉(zhuǎn)化為思想方式，反者道之動(dòng)等等，都是這種思想的表現(xiàn)。從而開創(chuàng)了對(duì)立統(tǒng)一的思想方式，實(shí)際上計(jì)算機(jī)的電子脈沖的思想是與之一致的，采樣定律也是與之一致的。

《易經(jīng)》是我國(guó)伏羲、周文王等當(dāng)政者積累觀天測(cè)算經(jīng)驗(yàn)而成的關(guān)于天象氣象和人變易的經(jīng)典，從八卦到六十四卦，就是二進(jìn)制三位到六位表達(dá)，上世紀(jì)八十年代還有四位計(jì)算機(jī)，可以說，周文王的六十四卦在表達(dá)能力上已經(jīng)高于四位計(jì)算機(jī)。

十進(jìn)制的使用

《卜辭》中記載說，商代的人們已經(jīng)學(xué)會(huì)用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬(wàn)這13個(gè)單字記十萬(wàn)以內(nèi)的任何數(shù)字，但是現(xiàn)在能夠證實(shí)的當(dāng)時(shí)最大的數(shù)字是三萬(wàn)。甲骨卜辭中還有奇數(shù)、偶數(shù)和倍數(shù)的概念。

十進(jìn)位位值制記數(shù)法包括十進(jìn)位和位值制兩條原則，"十進(jìn)"即滿十進(jìn)一；"位值"則是同一個(gè)數(shù)位在不同的位置上所表示的數(shù)值也就不同，如三位數(shù)"111"，右邊的"1"在個(gè)位上表示1個(gè)一，中間的"1"在十位上就表示1個(gè)十，左邊的"1"在百位上則表示1個(gè)百。這樣，就使極為困難的整數(shù)表示和演算變得如此簡(jiǎn)便易行，以至于人們往往忽略它對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展所起的關(guān)鍵作用。

我們有個(gè)成語(yǔ)叫"屈指可數(shù)"，說明古代人數(shù)數(shù)確實(shí)是離不開手指的，而一般人的手指恰好有十個(gè)。因此十進(jìn)制的使用似乎應(yīng)該是極其自然的事。但實(shí)際情況并不盡然。在文明古國(guó)巴比倫使用的是60進(jìn)位制（這一進(jìn)位制到現(xiàn)在仍留有痕跡，如一分＝60秒等）另外還有采用二十進(jìn)位制的。古代埃及倒是很早就用10進(jìn)位制，但他們卻不知道位值制。所謂位值制就是一個(gè)數(shù)碼表示什么數(shù)，要看它所在的位置而定。位值制是千百年來人類智慧的結(jié)晶。零是位值制記數(shù)法的精要所在。但它的出現(xiàn)卻并非易事。我國(guó)是最早使用十進(jìn)制記數(shù)法，且認(rèn)識(shí)到進(jìn)位制的國(guó)家。我們的口語(yǔ)或文字表達(dá)的數(shù)字也遵守這一原則，比如一百二十七。同時(shí)我們對(duì)0的認(rèn)識(shí)最早。

十進(jìn)制是中國(guó)人民的一項(xiàng)杰出創(chuàng)造，在世界數(shù)學(xué)史上有重要意義。著名的英國(guó)科學(xué)史學(xué)家李約瑟教授曾對(duì)中國(guó)商代記數(shù)法予以很高的評(píng)價(jià)，"如果沒有這種十進(jìn)制，就幾乎不可能出現(xiàn)我們現(xiàn)在這個(gè)統(tǒng)一化的世界了"，李約瑟說"總的說來，商代的數(shù)字系統(tǒng)比同一時(shí)代的古巴比倫和古埃及更為先進(jìn)更為科學(xué)。"

分?jǐn)?shù)和小數(shù)的最早運(yùn)用

分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

最初分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，并非由除法而來。分?jǐn)?shù)被看作一個(gè)整體的一部分。"分"在漢語(yǔ)中有"分開""分割"之意。后來運(yùn)算過程中也出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，它表示兩整數(shù)比。分?jǐn)?shù)的加減乘除運(yùn)算我們小學(xué)就已完全掌握了。很簡(jiǎn)單，是不是？不過在七、八百年以前的歐洲，如果你有這種水平那么就可以說相當(dāng)了不起了。那時(shí)精通自然數(shù)的四則運(yùn)算就已達(dá)到了學(xué)者水平。至于分?jǐn)?shù)，對(duì)當(dāng)時(shí)人來說簡(jiǎn)直難于上青天。德國(guó)有句諺語(yǔ)形容一個(gè)人陷入絕境，就說："掉到分?jǐn)?shù)里去了"。為什么會(huì)如此呢？這都是笨拙的記數(shù)法導(dǎo)致的。在我國(guó)古代，《九章算術(shù)》中就有了系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)運(yùn)算方法，這比歐洲大約早1400年。

西漢時(shí)期，張蒼、耿壽昌等學(xué)者整理、刪補(bǔ)自秦代以來的數(shù)學(xué)知識(shí)，編成了《九章算術(shù)》。在這本數(shù)學(xué)經(jīng)典的《方田》章中，提出了完整的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則。

從后來劉徽所作的《九章算術(shù)注》可以知道，在《九章算術(shù)》中，講到約分、合分（分?jǐn)?shù)加法）、減分（分?jǐn)?shù)減法）、乘分（分?jǐn)?shù)乘法）、除分（分?jǐn)?shù)除法）的法則，與我們現(xiàn)在的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則完全相同。另外，還記載了課分（比較分?jǐn)?shù)大?。?、平分（求分?jǐn)?shù)的平均值）等關(guān)于分?jǐn)?shù)的知識(shí)，是世界上最早的系統(tǒng)敘述分?jǐn)?shù)的著作。

分?jǐn)?shù)運(yùn)算，大約在15世紀(jì)才在歐洲流行。歐洲人普遍認(rèn)為，這種算法起源于印度。實(shí)際上，印度在七世紀(jì)婆羅門笈多的著作中才開始有分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則，這些法則都與《九章算術(shù)》中介紹的法則相同。而劉徽的《九章算術(shù)注》成書于魏景元四年（263年），所以，即使與劉徽的時(shí)代相比，我們也要比印度早400年左右。

小數(shù)的最早使用

劉徽在《九章算術(shù)注》中介紹，開方不盡時(shí)用十進(jìn)分?jǐn)?shù)（徽數(shù)，即小數(shù)）去逼近，首先提出了關(guān)于十進(jìn)小數(shù)的概念。到公元1300年前后，元代劉瑾所著《律呂成書》中，已將1063****.6312寫成

把小數(shù)部分降低一行寫在整數(shù)部分的后邊。而西方的斯臺(tái)汶直到1585年才有十進(jìn)小數(shù)的概念，且他的表示方法遠(yuǎn)不如中國(guó)先進(jìn)，如上述的小數(shù)，他記成或1063****。

九九表的使用

作為啟蒙教材，我們都背過九九乘法表：一一得一、一二得二……九九八十一。而古代是從"九九八十一"開始，因此稱"九九表"。九九表的使用，對(duì)于完成乘法是大有幫助的。齊恒公納賢的故事說明，到公元前7世紀(jì)時(shí)，九九歌訣已不希罕。也許有人認(rèn)為這種成績(jī)不值一提。但在古代埃及作乘法卻要用倍乘的方式呢。舉個(gè)例子。如算23×13，就需要從23開始，加倍得到23×2，23×4，23×8，然后注意到13＝1＋4＋8，于是23＋23×4＋23×8加起來的結(jié)果就是23×13。從比較中不難看出使用九九表的優(yōu)越性了。

根據(jù)考古專家在湖南張家界古人堤漢代遺址出土的簡(jiǎn)牘上發(fā)現(xiàn)的漢代"九九乘法表"，竟與現(xiàn)今生活中使用的乘法口訣表有著驚人的一致。這枚記載有"九九乘法表"的簡(jiǎn)牘是木質(zhì)的，大約有22厘米長(zhǎng)，殘損比較嚴(yán)重。此前在湘西里耶古城出土的一枚秦簡(jiǎn)上也發(fā)現(xiàn)了距今2200多年的乘法口訣表，并被考證為中國(guó)現(xiàn)今發(fā)現(xiàn)的最早的乘法口訣表實(shí)物。

除了里耶秦簡(jiǎn)外，與張家界古人堤遺址發(fā)現(xiàn)的這枚簡(jiǎn)牘樣式基本一致的"九九乘法表"還曾在樓蘭文書中見到過，那是寫在兩張殘紙上的九九乘法表，為瑞典探險(xiǎn)家斯文赫定在上個(gè)世紀(jì)初期發(fā)掘。

乘法表在古代并非中國(guó)一家獨(dú)有，古巴比倫的泥版書上也有乘法表。但漢字（包括數(shù)目字）單音節(jié)發(fā)聲的特點(diǎn)，使之讀起來朗朗上口；后來發(fā)展起來的珠算口訣也承繼了這一特點(diǎn)，對(duì)于運(yùn)算速度的提高和算法的改進(jìn)起到一定作用。

負(fù)數(shù)的使用

人們?cè)诮夥匠袒蚱渌鼣?shù)的運(yùn)算過程中，往往要碰到從較小數(shù)減去較大數(shù)的情形，另外，還遇到了增加與減小，盈余與虧損等互為相反意義的量，這樣，人們自然地引進(jìn)了負(fù)數(shù)。

負(fù)數(shù)的引進(jìn)，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的一個(gè)巨大貢獻(xiàn)。在我國(guó)古代秦、漢時(shí)期的算經(jīng)《九章算術(shù)》的第八章"方程"中，就自由地引入了負(fù)數(shù)，如負(fù)數(shù)出現(xiàn)在方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)中，把"賣（收入錢）"作為正，則"買（付出錢）"作為負(fù)，把"余錢"作為正，則"不足錢"作為負(fù)。在關(guān)于糧谷計(jì)算的問題中，是以益實(shí)（增加糧谷）為正，損實(shí)（減少糧谷）為負(fù)等，并且該書還指出："兩算得失相反，要以正負(fù)以名之"。當(dāng)時(shí)是用算籌來進(jìn)行計(jì)算的，所以在算籌中，相應(yīng)地規(guī)定以紅籌為正，黑籌為負(fù)；或?qū)⑺慊I直列作正，斜置作負(fù)。這樣，遇到具有相反意義的量，就能用正負(fù)數(shù)明確地區(qū)別了。

在《九章算術(shù)》中，除了引進(jìn)正負(fù)數(shù)的概念外，還完整地記載了正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，實(shí)際上是正負(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則，也就是書中解方程時(shí)用到的"正負(fù)術(shù)"即"同名相除，異名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之；其異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之。"這段話的前四句說的是正負(fù)數(shù)減法法則，后四句說的是正負(fù)數(shù)加法法則。它的意思是：同號(hào)兩數(shù)相減，等于其絕對(duì)值相減；異號(hào)兩數(shù)相減，等于其絕對(duì)值相加；零減正數(shù)得負(fù)數(shù)，零減負(fù)數(shù)得正數(shù)。異號(hào)兩數(shù)相加，等于其絕對(duì)值相減；同號(hào)兩數(shù)相加，等于其絕對(duì)值相加；零加正數(shù)得正數(shù)，零加負(fù)數(shù)得負(fù)數(shù)，當(dāng)然，從現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，古書中的文字?jǐn)⑹鲞€不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但直到公元17世紀(jì)以前，這還是正負(fù)數(shù)加減運(yùn)算最完整的敘述。

在國(guó)外，負(fù)數(shù)出現(xiàn)得很晚，直至公元1150年（比《九章算術(shù)》成書晚l千多年），印度人巴土卡洛首先提到了負(fù)數(shù)，而且在公元17世紀(jì)以前，許多數(shù)學(xué)家一直采取不承認(rèn)的態(tài)度。如法國(guó)大數(shù)學(xué)家韋達(dá)，盡管在代數(shù)方面作出了巨大貢獻(xiàn)，但他在解方程時(shí)卻極力回避負(fù)數(shù)，并把負(fù)根統(tǒng)統(tǒng)舍去。有許多數(shù)學(xué)家由于把零看作"沒有"，他們不能理解比"沒有"還要"少"的現(xiàn)象，因而認(rèn)為負(fù)數(shù)是"荒謬的"。直到17世紀(jì)，笛卡兒創(chuàng)立了坐標(biāo)系，負(fù)數(shù)獲得了幾何解釋和實(shí)際意義，才逐漸得到了公認(rèn)。

從上面可以看出，負(fù)數(shù)的引進(jìn)，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)給世界數(shù)學(xué)的一份寶貴財(cái)富。負(fù)數(shù)概念引進(jìn)后，整數(shù)集和有理數(shù)集就完整地形成了。

圓周率的計(jì)算

圓周率是數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)之一。對(duì)它的計(jì)算，可以作為顯示出一個(gè)國(guó)家古代數(shù)學(xué)發(fā)展的水平的尺度之一。而我國(guó)古代數(shù)學(xué)在這方面取得了令世人矚目的成績(jī)。

我國(guó)古代最初把圓周率取作3，這雖應(yīng)用起來簡(jiǎn)便，但太不準(zhǔn)確。在求準(zhǔn)確圓周率值的征途中，首先邁出關(guān)鍵一步的是劉徽。他創(chuàng)立割圓術(shù)，用圓內(nèi)接正多邊形無(wú)限逼近圓而求取圓周率值。用這種方法他求得圓周率的近似值為3.14，也有人認(rèn)為他得到了更好的結(jié)果：3.1416。青出于藍(lán)，而勝于藍(lán)。后繼者祖沖之利用割圓術(shù)得出了正確的小數(shù)點(diǎn)后七位。而且他還給出了約率與密率。密率的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上卓越的成就，保持了一千多年的世界紀(jì)錄，是一項(xiàng)空前杰作。