拉格朗日中值定理是什么？

是指直角坐標系中一個光滑連續(xù)曲線上任意兩點的縱坐標之差與橫坐標之差的比值等于橫坐標兩點之間某一點的導數(shù)；相當于在曲線上任意兩點間能找到一點，這點的切線與任意兩點的連線平行。

定義
又稱拉氏定理。
　　如果函數(shù)f(x)在（a，b）上可導，[a,b]上連續(xù)，則必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
令f(x)為y，所以該公式可寫成△y=f'(x+θ△x)*△x
(0<θ<1)
　　上式給出了自變量取得的有限增量△x時，函數(shù)增量△y的準確表達式，因此本定理也叫有限增量定理。
定理內(nèi)容
　　若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]滿足以下條件:
　　(1)在[a,b]連續(xù)
　　(2)在(a,b)可導
　　則在(a,b)中至少存在一點f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
a　　使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
成立，其中a證明:
　　把定理里面的c換成x再不定積分得原函數(shù)f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.
　　做輔助函數(shù)G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.
　　易證明此函數(shù)在該區(qū)間滿足條件:
　　1.G(a)=G(b);
　　2.G(x)在[a,b]連續(xù);
　　3.G(x)在(a,b)可導.
　　此即羅爾定理條件,由羅爾定理條件即證
幾何意義
　　若連續(xù)曲線y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))兩點間的每一點處都有不垂直于x軸的切線,則曲線在A,B間至少存在一點P(c,f(c)),使得該曲線在P點的切線與割線AB平行.

f(b)-f(a)=f‘(ζ)(b-a)
就是說一段定義域為[b,a]的連續(xù)函數(shù)，必存在一點ζ，f‘(ζ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣
拉格朗日中值定理的推廣是柯西中值定理

若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]滿足以下條件: 　　(1)在[a,b]連續(xù) 　　(2)在(a,b)可導 　　則在(a,b)中至少存在一點c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a