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高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)求最值問題

2022-11-16 02:05

x2+y2+z2=10求最值駐點(diǎn)：(±1,√5,2)，有4個(gè)駐點(diǎn)x=±1,y2=5x2，z=4x最值±5√5怎樣用拉格朗日乘數(shù)法最值是怎么求出來的，求下這題的過程，謝謝啦

2個(gè)回答

2022-11-16 06:46

按照lagrange乘子法確實(shí)能得出

2022-11-16 03:21

F = xy+2yz+k(x^2+y^2+z^2-10)
F'x = 0 : y+2kx = 0 即 y = -2kx ①
F'y = 0 : x+2z+2ky = 0 ②
F'z = 0 : 2y+2kz = 0 即 y = -kz ③
F'k = 0 : x^2+y^2+z^2-10 = 0 ④
①/③, 得 z = 2x，代入 ② 得 y = -5x/(2k) = -2kx, 得 k = ±√5/2，
k = √5/2 時(shí)，y = -√5x，連同 z = 2x 代入 ④ 得 x = ±1，y = ?√5， z= ±2，
u = xy+2yz 最小值 u(1, -√5, 2) = -5√5, u(-1, √5, -2) = -5√5；
k = -√5/2 時(shí)，y = √5x，連同 z = 2x 代入 ④ 得 x = ±1，y = ±√5， z= ±2，
u = xy+2yz 最大值 u(1, √5, 2) = 5√5, u(-1, -√5, -2) = 5√5。

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