一個(gè)很奇怪的問題

如果里面的元素不給范圍的話，他們兩個(gè)都是無(wú)窮多~

無(wú)限集合的個(gè)數(shù)可否比較呢?
我知道你也許正在思考這樣一個(gè)問題,偶數(shù)和奇數(shù)誰(shuí)多,偶數(shù)和自然數(shù)誰(shuí)多,自然數(shù)和整數(shù)誰(shuí)多.

呵呵,我可以告訴你最標(biāo)準(zhǔn)的答案,他們都是一樣多.

在無(wú)限集合里是這樣定義一樣多的:
如果兩個(gè)集合之間存在一個(gè)一一映射,那么這2個(gè)集合的個(gè)數(shù)就是一樣多.

因?yàn)榕紨?shù)和整數(shù)之間存在這樣的關(guān)系:
對(duì)于每一個(gè)偶數(shù),它的一半都是一個(gè)整數(shù);
而對(duì)于沒一個(gè)整數(shù),它的兩倍又是一個(gè)偶數(shù).

存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此他們2個(gè)的元素個(gè)數(shù)是一樣的.
同理你也可以知道我前面提到的那些數(shù)域的關(guān)系也是元素個(gè)數(shù)一樣.

幾何圖形也存在著這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系,比如一個(gè)線段和另一個(gè)線段,存在著一個(gè)映射使它們互相一一映射,這個(gè)映射畫出來(lái)有點(diǎn)像一個(gè)扇形的一條條豎的邊.
還可以同樣說(shuō)明一個(gè)線段和一段弧線存在一一映射.
更復(fù)雜的,可以證明一個(gè)單位圓盤也可以和整個(gè)平面除去圓盤的部分一一映射,可以這樣映: 設(shè)圓盤圓心是O,對(duì)于圓盤內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)X,取圓盤外在OX射線上,但是到O的距離剛好是|OX|的倒數(shù)的點(diǎn).
再往開點(diǎn)說(shuō),其實(shí)圓盤與整個(gè)平面也是一一對(duì)應(yīng)的,任何封閉曲面之間也是一一對(duì)應(yīng)的.

這些都說(shuō)開了,希望你對(duì)這些有個(gè)認(rèn)識(shí).

我現(xiàn)在還具體跟你說(shuō)說(shuō),整數(shù)和偶數(shù)個(gè)數(shù)是相同的,那么它們到底有多少個(gè)?

也許你要說(shuō),無(wú)限多個(gè),這個(gè)回答是正確的,但是是不確切的.

我們準(zhǔn)確地說(shuō),整數(shù)和偶數(shù)的個(gè)數(shù)是"可列"多個(gè)的.

什么叫"可列"個(gè)? 就是這些數(shù)能按數(shù)列那樣,一個(gè)一個(gè)往下列下去.
顯然整數(shù)偶數(shù)自然數(shù)這些都可以,更深入地說(shuō),有理數(shù)也可以,但是列的規(guī)則就比較難找.
凡是"可列"個(gè)元素組成的集合,我們都認(rèn)為它們的元素個(gè)數(shù)是相等的,它們也是互相可以一一影射的.

那么"可列"多個(gè)和無(wú)窮多個(gè)又有什么關(guān)系呢?
我告訴你一個(gè)有趣的結(jié)論,"可列"多個(gè)是無(wú)窮多個(gè)里面層次最低,元素個(gè)數(shù)最少的.
雖然同樣是無(wú)窮多個(gè),還會(huì)有的無(wú)窮集合里的元素個(gè)數(shù)比可列個(gè)更多.

比如實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù),
實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)被稱為"阿列夫"個(gè),它的個(gè)數(shù)可以認(rèn)為是"可列個(gè)"的集合的冪集的元素個(gè)數(shù).

我們先不深究這"阿列夫"個(gè)實(shí)際是多少,我只在這里告訴你為什么它比可列個(gè)多.
因?yàn)樗遣豢闪械?實(shí)數(shù)集不可能像整數(shù)那樣一個(gè)個(gè)往下列,因?yàn)槟阌肋h(yuǎn)不知道下一個(gè)該列的是什么,不管你的下一個(gè)數(shù)字和現(xiàn)在這個(gè)數(shù)字差的再小,這之間仍然有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)沒被列出來(lái)(事實(shí)上可以假設(shè)實(shí)數(shù)可以被列為{a1,a2,...,an}，然后反證).

除了實(shí)數(shù)集有"阿列夫"個(gè)元素,還有比如線段里的點(diǎn)的個(gè)數(shù),平面上點(diǎn)的個(gè)數(shù),無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù),都是"阿列夫"個(gè).

而"可列個(gè)"元素相對(duì)與"阿列夫"個(gè)來(lái)說(shuō),可以忽略不計(jì),用可列個(gè)元素除以"阿列夫"個(gè),結(jié)果是趨近于0的.
舉個(gè)例子: [0,1]內(nèi)的所有有理數(shù)點(diǎn)湊在一起所占區(qū)間的長(zhǎng)度是趨近于0的,而無(wú)理點(diǎn)湊在一起幾乎夠成整個(gè)區(qū)間,無(wú)理數(shù)比有理數(shù)多的多!!

兩個(gè)集合都是無(wú)限集，元素個(gè)數(shù)是無(wú)窮多個(gè)，一樣多，另外，二十三歲獲博士學(xué)位的德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾（１８４５－１９１８他成功地證明了：一條直線上的點(diǎn)能夠和一個(gè)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，也能和空間中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。由于無(wú)限，１厘米長(zhǎng)的線段內(nèi)的點(diǎn)，與太平洋面上的點(diǎn)，以及整個(gè)地球內(nèi)部的點(diǎn)都“一樣多”。
這本來(lái)就是一個(gè)高數(shù)問題

應(yīng)該是一樣多的，如你的思路，用倒數(shù)來(lái)求。但是集合【0,1）中的0和集合【1，+∞）中的1正好抵消，所以應(yīng)該是一樣多的