定積分和不定積分的異同

不定積分的結(jié)果是一個表達式
定積分本質(zhì)上是對不定積分確定一個范圍而求得的值
也可以這么說。求不定積分是求一個函數(shù)，而求定積分則是某一個函數(shù)在給定條件下的值。

定積分有幾分上限和幾分下限，不定積分沒有。定積分的值就是用不定積分得到的結(jié)果，把上限帶入結(jié)果減去下限帶入結(jié)果的值：（上限帶入不定積分結(jié)果）-（下限帶入不定積分結(jié)果）=（定積分結(jié)果）

不同：
不定積分
定積分
定義：
原函數(shù)族
分割、近似求和、取極限
“輸入”：
函數(shù)f
函數(shù)f
及積分上下限a,b
“輸出”結(jié)果
原函數(shù)族
實數(shù)（定積分值）
（包含積分常數(shù)）
相通：
1
變上限積分函數(shù)（即定積分值隨上限變化產(chǎn)生的函數(shù)）即為一個原函數(shù)（加上積分常數(shù)后即為不定積分）
有些函數(shù)(如e^(-x^2))的原函數(shù)不是初等函數(shù)，也就是說不定積分寫不出來。但是其定積分可以通過某些手段求得或近似求得，此時可以近似得用定積分的結(jié)果來計算原函數(shù)的某些性質(zhì)，如增減性、極值、圖像等等。
2
(牛頓-萊布尼茨公式）:
定積分的值可以表示為函數(shù)的任意一個原函數(shù)（可以通過不定積分來求解）在積分上下限的函數(shù)值之差。
由于這個公式的存在，我們一般是通過計算不定積分的結(jié)果來計算定積分的。
3
兩種積分的存在性是相同的。由于不定積分的存在性較難討論，我們一般是通過被積函數(shù)在任意區(qū)間上的定積分是否存在來討論函數(shù)是否“可積”的。

我們是用求不定積分的方法來求定積分的。因它們的提出是不相關(guān)的，一是求函數(shù)的原函數(shù)；一是求曲邊梯形的面積。但通過變上限函數(shù)把它們聯(lián)系起來了！