極限的定義和性質(zhì)

首先我們要抓住極限的定義：數(shù)列{Xn}，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得n>N時(shí)，不等式｜Xn-a｜<ε都成立，那么a就是數(shù)列{Xn}的極限，或者數(shù)列{Xn}收斂于a。
從定義來看，A選項(xiàng)缺少n>N時(shí)｜Xn-a｜<ε都成立，反例（-1）^n也有無限項(xiàng)為1和-1。
B選項(xiàng)，明顯把N=0了，我們定義只要求找到有限個(gè)N就可以，所以要求更高了。
C選項(xiàng)就對了，只有n =ε都成立,反過來說就是n>N時(shí)，不等式｜Xn-a｜<ε都成立。
D選項(xiàng)，就不說了。“可能”是什么東西，數(shù)學(xué)都是要精確的定義，不會(huì)出現(xiàn)模糊的概念。

“極限”是數(shù)學(xué)中的分支——微積分的基礎(chǔ)概念，廣義的“極限”是指“無限靠近而永遠(yuǎn)不能到達(dá)”的意思。數(shù)學(xué)中的“極限”指：某一個(gè)函數(shù)中的某一個(gè)變量，此變量在變大(或者變小)的永遠(yuǎn)變化的過程中，逐漸向某一個(gè)確定的數(shù)值A(chǔ)不斷地逼近而“永遠(yuǎn)不能夠重合到A”(“永遠(yuǎn)不能夠等于A，但是取等于A‘已經(jīng)足夠取得高精度計(jì)算結(jié)果)的過程中，此變量的變化，被人為規(guī)定為“永遠(yuǎn)靠近而不停止”、其有一個(gè)“不斷地極為靠近A點(diǎn)的趨勢”。極限是一種“變化狀態(tài)”的描述。此變量永遠(yuǎn)趨近的值A(chǔ)叫做“極限值”(當(dāng)然也可以用其他符號表示)。
　1、唯一性：若數(shù)列的極限存在，則極限值是唯一的，且它的任何子列的極限與原數(shù)列的相等。
　　2、有界性：如果一個(gè)數(shù)列’收斂‘(有極限)，那么這個(gè)數(shù)列一定有界。
　　但是，如果一個(gè)數(shù)列有界，這個(gè)數(shù)列未必收斂。例如數(shù)列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”
　　3、保號性：若 (或<0)，則對任何 (a<0時(shí)則是 )，存在N>0，使n>N時(shí)有 (相應(yīng)的 )。
　　4、保不等式性：設(shè)數(shù)列{xn} 與{yn}均收斂。若存在正數(shù)N ，使得當(dāng)n>N時(shí)有 ，則 (若條件換為 ，結(jié)論不變)。
　　5、和實(shí)數(shù)運(yùn)算的相容性：譬如：如果兩個(gè)數(shù)列{xn} ，{yn} 都收斂，那么數(shù)列 也收斂，而且它的極限等于{xn} 的極限和{yn} 的極限的和。
　　6、與子列的關(guān)系：數(shù)列{xn} 與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)有相同的極限;數(shù)列 收斂的充要條件是：數(shù)列{xn} 的任何非平凡子列都收斂。