為什么從“猴子分桃子”談起？

海灘上有一堆桃子，這是五個(gè)猴灶灶子的財(cái)產(chǎn)，它們要平均分配。第一個(gè)猴子來(lái)到海灘，它左等右等，未等來(lái)別的猴子，便把桃子平均分成五堆，還剩一個(gè)，它就把剩下的一個(gè)扔到海里，自己拿起了5堆中的一堆。第二個(gè)猴子來(lái)了，它把剩下的喊辯游桃子分成五堆，把剩下的一個(gè)又扔掉了，然后拿起一堆。以后每個(gè)猴子來(lái)了都是如此辦理，問(wèn)原來(lái)至少鄭銷(xiāo)有多少個(gè)桃子？最后海灘上至少剩下多少桃子？這就是著名的猴子分桃子問(wèn)題。著名的英國(guó)物理學(xué)家狄拉克曾提出了一種解法，相當(dāng)巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題。

設(shè)原來(lái)桃子N個(gè)，而五個(gè)猴子分得的桃子數(shù)分別為A1，A2……A5，則得到

N=5A1＋1

4A1=5A2＋1

4A2=5A3＋1

4A3=5A1＋1

4A4=5A5＋1

經(jīng)過(guò)一系列的代換，就可以得到N=3121，4A5=1020

其實(shí)這個(gè)答案是受到問(wèn)題中“至少”這一前提限制而得到的，如果不考慮“至少”這個(gè)條件，符合前面關(guān)系式的答案是很多的。例如N=6246，4A5=2044；N=15621，4A5=5116等等。

但是使人感興趣的不在于所得答案的多少，而是在于這類(lèi)問(wèn)題是怎樣解出的，原來(lái)“猴子分桃子”就是這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，若A0=N，A1=15（N-1），5An＋1=4An-1

求An

解：由5An＋1=4An-1，5An=4An-1-1

兩式相減得：5（An＋1-An）=4（An-An-1）

令Bn=An＋1-An則有：Bn=45Bn-1

因此：

An=（An-An-1）+（An-1-An-2）+……+（A2-A1）+A1

=Bn-1+Bn-2+……+B1+A1

=1-（45）n-11-45B1+A1

=5B1［1-（45）n-1］+A1

又由于A1=15（N-1）

A2=15［45（N-1）-1］

則B1=A2-A1=-125（N+4）

于是：An=-15（N+4）［1-（45）n-1］+15（N-1）

=-1+4n-15n（N+4）

特別是當(dāng)n=5時(shí)，有55（A5+1）=44（N+4）。由于5與4互質(zhì)，則N+4必為55的整數(shù)倍，即N+4=55·P（P∈Z），同時(shí)A5+1=44·P令P=1即可求出前面的結(jié)果。

從上面的解法，我們看到，如果給定了必須的數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)，再由給定的關(guān)于數(shù)列若干連續(xù)的關(guān)系式，就可以由關(guān)系式推出一個(gè)新數(shù)列。因此，我們把這種關(guān)系式叫數(shù)列的逆推公式，由逆推公式得到的這種數(shù)列叫作逆歸數(shù)列。逆歸數(shù)列由于逆推公式的不同，因此求它的通項(xiàng)的方法也比較復(fù)雜。“猴子分桃子問(wèn)題”在研究逆歸數(shù)列上確實(shí)起到了開(kāi)路先鋒的作用。