猴子吃桃問題。求數(shù)學(xué)解法

這題我在我們計(jì)算機(jī)編程算法題中遇到了過，用倒推法最簡(jiǎn)單也好理解
具體如下：設(shè)每天的桃子數(shù)為ai（i=1,2,3,...,10）那么a10=1，a9=（1+a10）*2,a8=（1+a9）*2
由此得遞推公式：ai=（1+a(i+1)）*2 i=9,...,3,2,1,注a(i+1)中i+1是下標(biāo)
所以a1即為所求：a1=1534
另外，其實(shí)遞推公式不用舉例總結(jié)也很好求，當(dāng)天的桃子數(shù)為ai，下一天的桃子數(shù)為a（i+1）
那么a(i+1)=ai-(a(i+1)/2+1)推得ai=（1+a(i+1)）*2

采取倒推法做：
設(shè)第九天剩下n個(gè)，應(yīng)該吃掉 （n/2)+1 則 n-(n/2)-1=1 解得 n=4 第九天剩下4個(gè)；
同理設(shè)第8天剩下n個(gè)，應(yīng)該吃掉 （n/2)+1 則 n-(n/2)-1=4,解得 n=10 第八天剩下10個(gè)
以此類推 第七天剩下 （10+1）x2=22個(gè)，第六天剩下 （22+1)x2=46個(gè)，第五天剩下（46+1）x2=94個(gè)，第四天剩下 （94+1）x2=190個(gè)，第三天剩下（190+1）x2=382
第2天剩下 （382+1）x2=766, 第一天有 （766+1）x2=1534個(gè)桃子。
自己可以驗(yàn)證的。

這應(yīng)該是四小學(xué)算數(shù)題，所以不應(yīng)該設(shè)未知數(shù)，倒推應(yīng)該這樣想，今天剩余桃子數(shù)加上1的和再乘以2就是昨天剩余桃子數(shù)。因?yàn)槔ㄌ?hào)最多可使用到大括號(hào)，故可分步完成
1、先算出第七天剩的桃子數(shù)為：{[（1+1）×2+1]×2+1}×2=22（個(gè)）
2、再算出第四天剩的桃子數(shù)為：{[（22+1）×2+1]×2+1}×2=190（個(gè)）
3、再算出第一天的桃子數(shù)為：{[（190+1）×2+1]×2+1}×2=1534（個(gè)）

回答這個(gè)題最簡(jiǎn)單的方法就是不怕麻煩，從第十天開始往前推算：
第十天只剩一個(gè)桃子；那么第九天沒吃時(shí)就應(yīng)該剩1加1后乘以2，即為4個(gè)；那么第八天沒吃時(shí)就剩4加1后乘以2，即10個(gè)；那么第七天沒吃時(shí)就應(yīng)該剩10加1后乘以2，即22個(gè)；那么第六天沒吃時(shí)就應(yīng)該剩22加1后乘以2，即46個(gè)；第五天沒吃時(shí)就應(yīng)該剩46加1后乘以2，即94個(gè)；第四天沒吃時(shí)就應(yīng)該是94加1后乘以2，即190個(gè)；第三天沒吃時(shí)就應(yīng)該是190加1后乘以2，即382個(gè)；第二天沒吃時(shí)就應(yīng)該是382加1后乘以2，即766個(gè)；第一天沒吃時(shí)，也就是總共桃子的個(gè)數(shù)是766加1后乘以2，即1534個(gè)。