四級(jí)聽力積分

什么是積分，全積分，半積分，雙積分，三積
積分是累加的一種形式，可以簡(jiǎn)單看成是無限項(xiàng)無限小的和。

全積分(complete integral) n個(gè)自變量的一階非線性偏微分方程的含有n個(gè)獨(dú)立常數(shù)的解.
全積分:各偏微分的和.

錯(cuò)誤
容積和體積是不同的
1、含義不同。如一只鐵桶的體積是指它所占空間部分的大小，而這只鐵桶的容積卻是指它容納物體的多少。一種物體有體積，可不一定有容積。
2、測(cè)量方法不同。在計(jì)算物體的體積或容積前一般要先測(cè)量長(zhǎng)、寬、高，求物體的體積是從該物體的外部來測(cè)量，而求容積卻是從物體的內(nèi)部來測(cè)量。一種既有體積又有容積的封閉物體，它的體積一定大于它的容積。
3、單位名稱不完全相同。體積單位一般用：立方米、

勤奮，愛學(xué)習(xí)，有知識(shí)，懂禮貌，幫助別人的人

容積和容積單位是：

?1、容積：像箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。

2、容積單位：計(jì)量容積，一般就用體積單位。計(jì)量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫升，1 L＝1000 mL。

3、容積單位和體積單位卜物的換算：1 L＝1 dm3，1 mL＝ 1 cm3。

容積和體積不同之處：

1、含義不同。如一只鐵桶的體積是指它外部所占空間部分的大小，而這只鐵桶的容積卻是指它內(nèi)部容納物體的多少。一種物體有體積，可不一定有容積。

2、測(cè)量早裂方法不同。在計(jì)算物體的體積或容積前一般要先測(cè)量長(zhǎng)、寬、高，求物體的體積是從該物體的外部來測(cè)量，而求容積卻是從物體的內(nèi)部來測(cè)量。一種既有體積又有容積的封閉物體，它的體積一定大陸弊閉于它的容積。

3、單位名稱不完全相同。體積單位一般用：立方米、立方分米、立方厘米；固體的容積單位與體積單位相同，而液體和氣體的體積與容積單位一般都用升、毫升。

原本浴缸內(nèi)剩下沒水體積
V=4×5×(4-3.5)=10(dm3)
鐵塊體積
V'=2×2×4=16(dm3)
△V=16-10=6(dm3)
∴會(huì)溢出來,溢出6升

對(duì)于平面形狀，正方形、長(zhǎng)方形，
相同的面積，是正方形的周長(zhǎng)最短；相同的周長(zhǎng)，就是正方形的面積最大；
對(duì)于立體形狀，正方體、長(zhǎng)方體，
相同的體積，是正方體的表面積最?。幌嗤谋砻娣e，就是正方體的體積最大。
為什么，你要什么樣的原因呢？我們看幾個(gè)具體例子吧
周長(zhǎng)都是
20，正方形的邊長(zhǎng)就是
5，長(zhǎng)方形的（長(zhǎng)
+
寬）就是
10，
10
=
5+5
=
4+6
=
3+7
=
2+8
=
1+9
長(zhǎng)
X
寬
的對(duì)應(yīng)面積，就依次是
25、24、21、16、9
這樣就看到，相同周長(zhǎng)，是正方形的面積最大。
接著看看，面積都是
36，正方形的邊長(zhǎng)就是
6，長(zhǎng)方形的（長(zhǎng)
+
寬）又是多少呢？
36
=
6X6
=
4X9
=
3X12
=
2X18
=
1X36
對(duì)應(yīng)的（長(zhǎng)
+
寬）就是
6+6=12，4+9=13，3+12=15，2+18=20，1+36=37
對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)，就依次是
24、26、30、40、74
這樣就看到，相同的面積，是正方形的周長(zhǎng)最短。
繼續(xù)看看立體形狀，正方體和長(zhǎng)方體
體積都是
8
=
1X1X8
=
1X2X4
=
2X2X2
長(zhǎng)方體
1X1X8
的表面積，就是
2X1X1
+
4X1X8
=
2+32
=
34
長(zhǎng)方體
1X2X4
的表面積，就是
2X2X4
+
2X1X6
=
16+12
=
28
正方體
2X2X2
的表面積，就是
2X2X6
=
24
這樣就看到，相同的體積，是正方體的表面積最小。
畢竟計(jì)算表面積比較麻煩，相同表面積，正方體體積最大的例子，我們就不看了。
分析原因，我們還是借助示意圖來看看吧。相同大小的小正方形拼面積相等的長(zhǎng)方形，相同大小的小正方體拼體積相等的長(zhǎng)方體，應(yīng)該就是最能說明問題的例子。
我們用漢字
“口”
表示
1X1，面積是
1
的正方形，它的周長(zhǎng)就是
4，看看吧，
2個(gè)
“口”
的正方形，周長(zhǎng)和就是
8，拼成面積是
2
的長(zhǎng)方形
“日”
之后，在
“日”
的中間就有
2條橫邊合二為一，它們重疊之后，也就再不是邊長(zhǎng)了，拼成長(zhǎng)方形的
“日”，周長(zhǎng)就是
6，減少了
2條邊長(zhǎng)
1的長(zhǎng)度。
3個(gè)
“口”
的正方形，周長(zhǎng)和就是
12，拼成面積是
3
的長(zhǎng)方形之后，在
“目”
的中間有
2條橫，合二為一重疊的邊長(zhǎng)，就有
4條，它們也再不是邊長(zhǎng)了，拼成長(zhǎng)方形的
“目”，周長(zhǎng)就是
8，減少了
4條邊長(zhǎng)
1的長(zhǎng)度。
4個(gè)
“口”
的正方形，周長(zhǎng)和就是
16，拼成面積是
4
的長(zhǎng)方形，如果還是拼一條，就像
“直”
和
“真”，中間有
3橫，重疊了
6條邊，周長(zhǎng)就減少了
6，變成
10。
如果
2X2
拼成
“田”，就又是正方形，中間的
“十”
字，就重疊減少了
8條邊長(zhǎng)
1，周長(zhǎng)就變成
8
這樣看來，相同的面積，為什么正方形周長(zhǎng)最短，就是因?yàn)槠凑叫沃丿B的邊長(zhǎng)最多。
同理，1X1X1
的小正方體，表面積就是
6X1X1=6，總共
8個(gè)的表面積就是
6X8=48，拼
8立方的長(zhǎng)方體和正方體看看
如果拼一個(gè)長(zhǎng)條，中間就只有
7個(gè)位置，重疊減少
14個(gè)
“口”
的
1X1
正方形平面，長(zhǎng)方體
1X1X8
的表面積就是
48-14=34
如果拼一個(gè)正方體
2X2X2，中間三個(gè)方向就重疊了
3個(gè)
“田”，1X1
的正方形平面，就要減少了
6X4=24個(gè)，正方體
2X2X2
的表面積就是
48-24=24
相同的體積，為什么正方體的表面積最小，也是因?yàn)槠凑襟w重疊的正方形平面最多。

不一樣。體積是物體占所占空間的大小,而容積是指能容納物體的體積,固體的容積單位與體積單位相同,在國(guó)際單位制中,基本單位是立方米(m3),在生活中,常用單位有升(L)、毫升(ml)、立方米、立方分米、立方厘米等。
容積與體積不相等。容積和體積不一樣,容積是指箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積通常叫做它們的容積。
體積是當(dāng)物體占據(jù)的空間是三維空間時(shí),所占空間的大小叫做該物體的體積。
體積是從物體的外部來測(cè)量的,容積是從物體的內(nèi)部測(cè)量的。同一個(gè)物體的形狀和位置發(fā)生改變,體積不變。不同物體拼在一起,它們的體積也不發(fā)生改變。

體積與容積的區(qū)別
學(xué)習(xí)了體積與容積后，有些同學(xué)誤認(rèn)為容積就是體積。其實(shí)，容積與體積是有著密切的聯(lián)系，即它們的計(jì)算方法都是一樣的（都用體積公式加以計(jì)算）。但體積與容積是兩個(gè)不同的概念，它們的區(qū)別有三：
1、意義不同。體積是指物體所占空間的大小。容積是指容器（杯子、盒子、油桶等）所能容納物體的大?。磧?nèi)部體積）。
2、度量方法不同。計(jì)算體積時(shí)是從物體的外面去測(cè)量。比如：計(jì)算用玻璃做成的長(zhǎng)方體金魚缸的體積，就要從外面去分別測(cè)量出長(zhǎng)方體金魚缸的長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)度。如果要計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方體金魚缸的容積（或容量），所需要的數(shù)據(jù)，就必須從金魚缸里面去測(cè)量，因?yàn)樽鼋痿~缸的玻璃是有一定厚度的。
3、計(jì)量單位不同。計(jì)算物體的體積，必須使用體積單位“立方米、立方分米、立方厘米”等。計(jì)算容積一般使用容積單位“升、毫升”；但計(jì)算較大物體的容積時(shí)，也拿體積單位“立方米”來通用，因?yàn)樯秃辽幌抻谟?jì)量液體，如桶裝的汽油、小瓶裝的藥水。