高中數(shù)學(xué)絕對(duì)值不等式相關(guān)公式

絕對(duì)值不等式是指一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值與另一個(gè)數(shù)進(jìn)行比較所得到的不等式。具體而言，絕對(duì)值不等式可以表示為：|a| b 或 |a| > b，其中 a 和 b 為實(shí)數(shù)。
我們首先來(lái)看絕對(duì)值不等式的第一種形式 |a| < b，這意味著 a 的絕對(duì)值小于 b。舉個(gè)例子，如果 |x| < 5，那么 x 的取值范圍為 -5 < x < 5。這是因?yàn)楫?dāng) x 小于 5 且大于 -5 時(shí)，它的絕對(duì)值一定小于 5。同時(shí)，由于絕對(duì)值始終為正數(shù)，因此當(dāng) x 在 5 和 -5 之外時(shí)，其絕對(duì)值就會(huì)大于 5，不滿(mǎn)足不等式。
同理，如果絕對(duì)值不等式的形式為 |a| > b，那么 a 的絕對(duì)值就大于 b。例如，如果 |x| > 7，那么 x 的取值范圍為 x -7 或者 x > 7。當(dāng) x 在 -7 到 7 之間時(shí)，它的絕對(duì)值都小于 7。只有當(dāng) x 小于 -7 或大于 7 時(shí)，才會(huì)滿(mǎn)足不等蔽皮式。
絕對(duì)值不等式在數(shù)學(xué)和科學(xué)中經(jīng)常用到。例如，在解決一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題時(shí)，我們需要解決一個(gè)絕對(duì)值不等式來(lái)確定解的范圍。同時(shí)，在物理學(xué)和工程學(xué)中，絕對(duì)值不等式也經(jīng)常用來(lái)限制變量的取值范圍。
當(dāng)然，對(duì)于更加復(fù)雜的絕對(duì)值不等式，我們可能需要使用不同的方法來(lái)解決它們。例如，我們可以將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化成等價(jià)的復(fù)合不等式，然后再求解。另一種方法是利用數(shù)軸來(lái)表示不等式，以便更好地辯沒(méi)理解宏灶差和解決問(wèn)題?？傊莆战^對(duì)值不等式的基本概念和解決方法，有助于我們更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，提高自己的數(shù)學(xué)能力和解決問(wèn)題的能力。
在日常生活中，絕對(duì)值不等式也有著廣泛的應(yīng)用。例如，在制定健康計(jì)劃時(shí)，我們可能需要根據(jù)身體指標(biāo)設(shè)置一些目標(biāo)，比如體重控制在一個(gè)特定的范圍內(nèi)。此時(shí)，我們就可以使用絕對(duì)值不等式來(lái)限制目標(biāo)范圍，從而更好地實(shí)現(xiàn)健康目標(biāo)。
絕對(duì)值不等式不僅在數(shù)學(xué)上有著重要的應(yīng)用，而且在日常生活中也發(fā)揮著重要的作用。掌握絕對(duì)值不等式的理論知識(shí)和實(shí)際應(yīng)用，對(duì)于我們提高數(shù)學(xué)能力和更好地解決問(wèn)題都有著重要的意義。

性質(zhì)
|a|表示數(shù)軸上的點(diǎn)a與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值。

兩個(gè)重要性質(zhì)：

1.|ab| = |a||b|

|a/b| = |a|/|b| （b≠0）

2.|a|<|b| 可逆 a2;
||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng) ab≤0 時(shí)左邊等號(hào)成立，ab≥0
時(shí)右邊等號(hào)成立。

另外有橘型桐：|a-b| ≤ |a|+|-b| = |a|+|-1|*|b| = |a|+|b|

| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|

2幾何意義

1.當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)圓坦它們位于原點(diǎn)的同一邊，此時(shí)a與﹣b的距離等于它們到原點(diǎn)的距離之和。
2.當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)它們分別位于原點(diǎn)的兩邊，此時(shí)a與﹣b的距離小于它們到原點(diǎn)的距離之和。

(|a-b|表示a-b與原點(diǎn)的距離，也表示a與b之間的距離)

3相關(guān)公式

絕對(duì)值重要不等式推導(dǎo)過(guò)程

我們知租旅道

x，(x>0);

|x|={ x，(x=0);

因此，有：

-|a|≤a≤|a| ......①

-|b|≤b≤|b| ......②

-|b|≤-b≤|b|......③

由①+②得：

-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

即 |a+b|≤|a|+|b| ......④

由①+③得：

-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|

即 |a-b|≤|a|+|b| ......⑤

另：

|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|

|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|

由④知：

|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b| =>
|a|-|b|≤|a+b|.......⑥

|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a| =>
|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦

|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| =>
|a|-|b|≤|a-b|.......⑧

|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a| =>
|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨

由⑥，⑦得：

| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩

由⑥，⑦得：

| |a|-|b| |≤|a-b|......?

綜合④⑤⑩?得到有關(guān)
絕對(duì)值(absolute value)的重要不等式

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

要注意等號(hào)成立的條件（特別是求最值），即：

|a-b|=|a|+|b|→ab≤0

|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0

|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0

注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0

同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0

另 “→”指可雙向推出

解法

解決與絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題（如解絕對(duì)值不等式，解絕對(duì)值方程，研究含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)等等），其關(guān)鍵往往在于去掉絕對(duì)值符號(hào)。而去掉絕對(duì)值符號(hào)的基本方法有二。

以下，具體說(shuō)說(shuō)絕對(duì)值不等式的解法：

其一為平方，所謂平方，比如，|x|=3，可化為x^2=9，絕對(duì)值符號(hào)沒(méi)有了！

其二為討論，所謂討論，即x≥0時(shí)，|x|=x ；x<0時(shí)，|x|=-x，絕對(duì)值符號(hào)也沒(méi)有了！

說(shuō)到討論，就是令絕對(duì)值中的式子等于0，分出x的段，然后根據(jù)每段討論得出的x值，取交集，綜上所述即可。

4應(yīng)用

解不等式|x-x2-2|>x2-3x-4

解 ∵|x-x2-2|=|x2-x+2|

而x2-x+2=(x-1/4)2+7/4>0

所以|x-x2-2|中的絕對(duì)值符號(hào)可直接去掉.

故原不等式等價(jià)于x2-x+2>x2-3x-4

解得：x>-3
∴ 原不等式解集為{x>-3}

1.
（1）|1-2x|＜1
1.當(dāng)x>=1/2時(shí)，1-2x=<0，此時(shí)2x-1<1,得x<1,即此時(shí)1/2=2.當(dāng)x<1/2時(shí)，1-2x>0，此時(shí)1-2x<1,得x>0,即此時(shí)0綜合得0
（2）|2x+3|+x≥5
1.當(dāng)x=<-3/2時(shí)，2x+3<0，此時(shí)-2x-3+x>=5,得x=<-8,即此時(shí)x=<-8
2.當(dāng)x>-3/2時(shí)，2x+3>0，此時(shí)2x+3+x>=5,得x>=2/3,即此時(shí)x>=2/3
綜合得x=<-8或x>=2/3

（3）|x+1|+|x-2|＜4
1.當(dāng)x>2時(shí)，此時(shí)x+1+x-2<4,得x<5/2,即此時(shí)22.當(dāng)x<-1時(shí)，此時(shí)-x-1-x+2<4,得x>-3/2,即此時(shí)-3/23.當(dāng)-1=綜合得-3/2------------------------------------------
2.
若|x+1|+|x-2|＜a有解，求a的取值范圍。
1.當(dāng)x>2時(shí)，此時(shí)x+1+x-22,a>1
2.當(dāng)x<-1時(shí)，此時(shí)-x-1-x+22.當(dāng)-1=3
綜合得a的取值范圍為a>1或a<-3

絕對(duì)值 里面的數(shù) 正負(fù)數(shù) 都 等于數(shù)本身轎孫 例如 │-18│=18 │-0.8│=0.8
絕對(duì)值 跟數(shù)字本身沒(méi)關(guān)系
“|a| 是等于 -a” 你說(shuō)的這個(gè)不成立 除滑陵非是- |a|= - a 負(fù)號(hào)提出來(lái)
“根號(hào)a小信帆戚于0”這個(gè)問(wèn)題沒(méi)關(guān)系

絕對(duì)值最大值：
第一種：可先求出絕對(duì)值:=ABS（A1），...，ABS（A5）；得B1~B5；再求最大值：=MAX（B1~B5）從而得出；
第二種：也可直接求最大值絕對(duì)值和最小值絕對(duì)值中的最大值：=MAX（ABS（MAX（A1：A5）），ABS（MIN（A1：A5）））
還有一種不等式的

“三式絕學(xué)”又叫“古中三式”，乃——“太乙”、“奇門(mén)”、“六壬”是也！屬中國(guó)古典哲學(xué)范疇。

|y^2-x^2| ≤ 1,
當(dāng)y^2-x^2≥0
此時(shí)
x^2≤y^2≤x^2+1

當(dāng)y^2-x^2≤0
此時(shí)
x^2≥y^2≥x^2-1

這就是y的范圍，顯耐老然x的范圍為任意
畫(huà)出y=x和y=-x兩條直線
再畫(huà)出雙曲線y^2-x^2=1
其間部分就是x^2≤y^2≤x^2+1

畫(huà)出y=x和耐則y=-x兩條直線
再畫(huà)出雙曲線x^2-y^2=1
其間部分就是x^2-1≤y^2≤昌畝棚x^2

一行有七字,有韻律.