初中數(shù)學(xué)拋物線公式

拋物線教案教學(xué)內(nèi)容：1．拋物線的幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率）；2．描點(diǎn)畫拋物線．教學(xué)目標(biāo)：1．掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì)；2．能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對拋物線方程進(jìn)行討論,在此基礎(chǔ)上列表、描點(diǎn)、畫拋物線圖形；3．在對拋物線幾何性質(zhì)的討論中,注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化．一、課題引入先復(fù)習(xí)拋物線的定義、四類標(biāo)準(zhǔn)方程以及相應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程．然后提出：為了準(zhǔn)確而簡便地畫出拋物線的圖形,應(yīng)對拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程所對應(yīng)的圖形的位置有一個大體的估計,為此要先對拋物線的范圍、對稱性、截距進(jìn)行討論．還應(yīng)明確,把拋物線的定義與橢圓、雙曲線的第二定義加以對比,提出拋物線的離心率等于1．二、知識講解1．拋物線對學(xué)生來說是比較熟悉的,有了討論橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的基礎(chǔ),再討論拋物線的幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率）不會遇到什么障礙．但要注意：拋物線的性質(zhì)和橢圓、雙曲線比較起來,差別較大,它的離心率等于1,它只有一個焦點(diǎn)、一個頂點(diǎn)、一條對稱軸、一條準(zhǔn)線,它沒有中心,通常稱拋物線為無心圓錐曲線,而稱橢圓和雙曲線為有心圓錐曲線．2．在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p＞0）中,令x＝,則y＝±p．這就是說,通過焦點(diǎn)而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為（,p）,（,－p）,連結(jié)這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑,它的長是2p．利用拋物線的幾何性質(zhì)及拋物線上坐標(biāo)為（,p）,（,－p）的兩點(diǎn),能夠方便地畫出反映拋物線基本特征的草圖．三、例題講解例1．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)（5,5）,x軸為對稱軸,求這拋物線的方程,并畫出它的圖形．分析：首先由已知點(diǎn)坐標(biāo)代入方程,求參數(shù)p．設(shè)拋物線方程為y2＝2px,因?yàn)樗^點(diǎn)（5,5）,故　　52＝2p×5,p＝所以　　拋物線方程為y2＝5x．列表x01.2522****…y02.53.23.23.93.9…描點(diǎn),畫圖,（圖略）例2．探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分,光源位于拋物線的焦點(diǎn)處,已知燈的圓的直徑60cm,燈深為40cm,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置．分析：這是拋物線的實(shí)際應(yīng)用題,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后,根據(jù)題設(shè)條件,可確定拋物線上一點(diǎn)坐標(biāo),從而求出p值．（見課本P99）例3．過拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F任作一條直線m,交這拋物線于P1、P2兩點(diǎn),求證：以P1P2為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．證明：如圖2-15．設(shè)P1P2的中點(diǎn)為P0,過P1、P0、P2分別向準(zhǔn)線l引垂線P1Q1,P0Q0,P2Q2,垂足為Q1、Q0、Q2,則｜P1F｜＝｜P1Q1｜,｜P2F｜＝｜P2Q2｜∴｜P1P2｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜＝｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＝2｜P0Q0｜所以P0Q0是以P1P2為直徑的圓P0的半徑,且P0Q0⊥l,因而圓P0和準(zhǔn)線l相切．例題4 .直線與交于A,B兩點(diǎn),且AB中點(diǎn)坐標(biāo)是2,則此直線的斜率是 例題5 .上三點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列,求證：這三點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線段長也成等差數(shù)列.四、練習(xí)與講評1．求滿足下列條件的拋物線的方程（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)是（0,－4）（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線是x＝4（3）焦點(diǎn)是F（0,5）,準(zhǔn)線是y＝－5（4）頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,過點(diǎn)A（－2,4）2．在同一坐標(biāo)系中,畫出下列拋物線的草圖．（1）y2＝2x （2）y2＝x （3） （4）y2＝4x比較這些圖形,說明拋物線開口大小與方程中x的系數(shù)是怎樣的關(guān)系．3．一條隧道的頂部是拋物拱形,拱高是1.1m,跨度是2.2m,求拱形的拋物線方程．4．設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線l交x軸于R,過拋物線上一點(diǎn)P（4,4）作PQ⊥l于Q．求梯形PFRQ的面積．答　案1．（1）x2＝－16y （2）y2＝－16x （3）x2＝20y（4）y2＝－8x2．（圖略）x的系數(shù)越大,拋物線張口越大3．4．14講評：（1）要正確判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式．（2）注意p＞0．（3）對于實(shí)際問題,要合理選擇坐標(biāo)系．小結(jié)：1.拋物線的幾何性質(zhì)2.數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化

初三數(shù)學(xué)拋物線公式：y=ax2+bx+c（a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)公式是（-b/2a，（4ac-b2）/4a）；y=ax2+bx，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-b/2a，-b2/4a）。
拋物線是指平面內(nèi)到一個定點(diǎn)F（焦點(diǎn)）和一條定直線l（準(zhǔn)線）距離相等的點(diǎn)的軌跡。有許多表示方法，例如參數(shù)表示，標(biāo)準(zhǔn)方程表示等等。在幾何光學(xué)和力學(xué)中有重要的用處。拋物線也是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線。拋物線在合適的坐標(biāo)變換下，也可看成二次函數(shù)圖像。

拋物線的一般解析式為
y
=
ax2
+
bx
+
c
(a不等于0)
其對稱軸
y
=
-b/(2a)
頂點(diǎn)坐標(biāo)為
（
-b/(2a)
，
（4ac-b2）/4a）
當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，有最小值；當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，有最大值。
|a|
越大，拋物線的開口越小，反之，|a|越小，拋物線的開口越大

1.a>0,則拋物線y=ax2+bx+c開口向上；
a<0,則拋物線y=ax2+bx+c開口向下；

2.b與a決定了拋物線的對稱軸
ab>0，對稱軸在y軸的右側(cè)；
ab<0，對稱軸在y軸的左側(cè)；
簡稱為：左同右異

3.c>0,拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方（即y軸的正半軸）
c<0,拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方（即y軸的負(fù)半軸）

拋物線公式:
一般式:y=aX2+bX+c(a、b、c為常數(shù)，a≠0）
頂點(diǎn)式:y=a(X-h）2+k（a、h、k為常數(shù)，a≠0）
交點(diǎn)式（兩根式）：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）
其中 是拋物線y=aX2+bX+c(a、b、c為常數(shù)，a≠0）與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即方程aX2+bX+c=0的兩實(shí)數(shù)根。

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拋物線公式:
一般式:y=aX2+bX+c(a、b、c為常數(shù)，a≠0）
頂點(diǎn)式:y=a(X-h）2+k（a、h、k為常數(shù)，a≠0）
交點(diǎn)式（兩根式）：y=a（x-x1）（x-x2）
（a≠0）
其中
是拋物線y=aX2+bX+c(a、b、c為常數(shù)，a≠0）與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即方程aX2+bX+c=0的兩實(shí)數(shù)根

首先，因?yàn)檫^點(diǎn)M的直線與拋物線y^2=2px交于兩點(diǎn)，則此直線不可能平行于y軸，故而，我們可以假設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為y=a(x-p/2)。
將此直線方程代入拋物線方程，我們得到交點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)滿足如下等式：
(1) a^2*x^2 - (2+a^2)p*x + p^2*a^2/4 = 0
(2) y1^2 = 2p*x1
(3) y2^2 = 2p*x2
而根據(jù)線段的定義，AM = √(x1-p/2)^2+y1^2，BM = √(x2-p/2)^2+y2^2。
利用等式(2)(3)，我們知道x1,x2≥0，并且AM = √(x1-p/2)^2+2p*x1 = x1+p/2，BM = √(x2-p/2)^2+2p*x2 = x2+p/2。
所以，1/AM+1/BM = 1/(x1+p/2) + 1/(x2+p/2)。
通分后，我們得到1/AM+1/BM = (x1+x2+p)/[(x1*x2+x1+x2+p^2/4)]。
針對等式(1)利用二次方程維達(dá)定理，x1+x2=(2+a^2)p/a^2，x1*x2=p^2/4。
代入1/AM+1/BM，可得，1/AM+1/BM = ((2+a^2)p/a^2+p)/[(2+a^2)p^2/2a^2+p^2/2] = 2/p。

平拋運(yùn)動可正交分解為兩個運(yùn)動：水平方向上的速度為Vo的勻速直線運(yùn)動和豎直方向上的自由落體運(yùn)動。

水平方向上位移是x=Vot；
豎直方向上的速度V=gt，位移y=0.5gt2。
【其中Vo是平拋運(yùn)動的初速度，方向水平；V是豎直方向上的速度，g是重力加速度，t是運(yùn)動時間；x是水平方向上的位移，y是豎直方向上的位移?！?br/>
由此還可求出拋物線的軌跡方程：y=0.5gt2=0.5g(x/Vo)2=(g/2Vo)x2。

平拋運(yùn)動可正交分解為兩個運(yùn)動：水平方向上的速度為Vo的勻速直線運(yùn)動和豎直方向上的自由落體運(yùn)動.
水平方向上位移是x=Vot；
豎直方向上的速度V=gt,位移y=0.5gt2.
【其中Vo是平拋運(yùn)動的初速度,方向水平；V是豎直方向上的速度,g是重力加速度,t是運(yùn)動時間；x是水平方向上的位移,y是豎直方向上的位移.】
由此還可求出拋物線的軌跡方程：y=0.5gt2=0.5g(x/Vo)2=(g/2Vo)x2.