高中數(shù)學(xué)-基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

導(dǎo)函數(shù)的基本公式如圖所示：

求導(dǎo)法則：

1、求導(dǎo)的線性：對(duì)函數(shù)的線性組合求導(dǎo)，等于先對(duì)其中每個(gè)部分求導(dǎo)后再取線性組合（即①式）。

2、兩個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)函數(shù)：一導(dǎo)乘二+一乘二導(dǎo)（即②式）。

3、兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)函數(shù)也是一個(gè)分式：（子導(dǎo)乘母-子乘母導(dǎo)）除以母平方（即③式）。

4、如果有復(fù)合函數(shù)，則用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)。

點(diǎn)b處的左導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，f'(x)為區(qū)間[a,b]上的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。

函數(shù)可導(dǎo)的條件：

如果一個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，即函數(shù)在其上都有定義。函數(shù)在定義域中一點(diǎn)可導(dǎo)需要一定的條件：函數(shù)在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，不能證明這點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，只有左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，并且在該點(diǎn)連續(xù)，才能證明該點(diǎn)可導(dǎo)。

可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

導(dǎo)函數(shù)的基數(shù)絕本公式如下。

1、c'=0(c為常數(shù)）。

2、（x^a)'=ax^(a-1),a為常數(shù)且a≠行畢旦0。

3、（檔擾a^x)'=a^xlna。

4、（e^x)'=e^x。

5、（logax)'=1/(xlna),a>0且a≠1。

6、（lnx)'=1/x。

7、（sinx)'=cosx。

8、（cosx)'=-sinx。

9、（tanx)'=(secx)^2。

10、（secx)'=secxtanx。

11、（cotx)'=-(cscx)^2。

12、（cscx)'=-csxcotx。

13、（arcsinx)'=1/√（1-x^2)。

14、（arccosx)'=-1/√（1-x^2)。

15、（arctanx)'=1/(1+x^2)。

16、（arccotx)'=-1/(1+x^2)。

17、（shx)'=chx。

18、（chx)'=shx。

19、（uv)'=uv'+u'v。

20、（u+v)'=u'+v'。

導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的轉(zhuǎn)換公式，詳細(xì)介紹如下：

一、轉(zhuǎn)換公式：

已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)公式y(tǒng)=f(x)=c(c為常數(shù))，則f'(x)=0，f(x)=x^n(n不等于0)，f'(x)=nx^(n-1)(x^n表示x的n次方)，f(x)=sinx，f'(x)=cosx，f(x)=cosx，f'(x)=-sinx，f(x)=a^x，f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)。

f(x)=e^x，f'(x)=e^x，f(x)=logaX，f'(x)=1/xlna(a>0且a不等于1,x>0)，f(x)=lnx，f'(x)=1/x(x>0)，f(x)=tanx，f'(x)=1/cos^2x，f(x)=cotx，f'(x)=-1/sin^2x。

二、知識(shí)拓展：

函數(shù)數(shù)學(xué)術(shù)語，定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，近代定義是從集合映射的觀點(diǎn)出發(fā)。

函數(shù)最早由中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯，出于其著作《代數(shù)學(xué)》，之所以這么翻譯，他給出的原因是凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)，也即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，或者說一個(gè)量中包含另一個(gè)量。

輸入值的集合被稱為f的定義域，可能的輸出值的集合被稱為f的值域，函數(shù)的值域是指定義域中全部元素通過映射f得到的實(shí)際輸出值的集合，注意把對(duì)應(yīng)域稱作值域是不正確的，函數(shù)的值域是函數(shù)的對(duì)應(yīng)域的子集。

高階函數(shù)求導(dǎo)萊布尼茲公式是(uv)(n)=u(n)v+nu(n-1)v'+n(n-1)/2!u(n-2)v"+n(n-1)...(n-k+1)u(n-k)v(k)+...+uv(n)。

任意階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：

對(duì)任意n階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，由于 n 不是確定值，自然不可能通過逐階求導(dǎo)的方法計(jì)算。此外，對(duì)于固定階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，當(dāng)其階數(shù)較高時(shí)也不可能逐階計(jì)算。

所謂n階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算實(shí)際就是要設(shè)法求出以n為參數(shù)的導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式。求n階導(dǎo)數(shù)的參數(shù)表達(dá)式并沒有一般的方法，最常用的方法是，先按導(dǎo)數(shù)計(jì)算法求出若干階導(dǎo)數(shù)，再設(shè)法找出其間的規(guī)律性，并導(dǎo)出n的參數(shù)關(guān)系式。

常見的8個(gè)高階導(dǎo)數(shù)公式如圖所示：

從概念上講，高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算就是連續(xù)進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。因此只需根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算規(guī)則逐階求導(dǎo)就可以了，但從實(shí)際計(jì)算角度看，卻存在兩個(gè)方面的問題：

（1）一是對(duì)抽象函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，隨著求導(dǎo)次數(shù)的增加，中間變量的出現(xiàn)次數(shù)會(huì)增多，需注意識(shí)別和區(qū)分各階求導(dǎo)過程中的中間變量。

（2）二是逐階求導(dǎo)對(duì)求導(dǎo)次數(shù)不高時(shí)是可行的，當(dāng)求導(dǎo)次數(shù)較高或求任意階導(dǎo)數(shù)時(shí)，逐階求導(dǎo)實(shí)際是行不通的，此時(shí)需研究專門的方法。

常用三角函數(shù)公式如下：（^表示乘方，例如＾2表示平方）。

正弦函數(shù)sinθ＝y(tǒng)/r。

余弦函數(shù)cosθ＝x/r。

正切函數(shù)tanθ＝y(tǒng)/x。

余切函數(shù)cotθ＝x/y。

正割函數(shù)secθ＝r/x。

余割函數(shù)cscθ＝r/y。

積的關(guān)系：

sinα = tanα × cosα（即sinα / cosα = tanα ）。

cosα = cotα × sinα （即cosα / sinα = cotα）。

tanα = sinα × secα (即 tanα / sinα = secα)。

倒數(shù)關(guān)系：

tanα × cotα = 1。

sinα × cscα = 1。

cosα × secα = 1。