高中數(shù)學(xué)求導(dǎo)函數(shù)公式

導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的轉(zhuǎn)換公式，詳細(xì)介紹如下：

一、轉(zhuǎn)換公式：

已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)公式y(tǒng)=f(x)=c(c為常數(shù))，則f'(x)=0，f(x)=x^n(n不等于0)，f'(x)=nx^(n-1)(x^n表示x的n次方)，f(x)=sinx，f'(x)=cosx，f(x)=cosx，f'(x)=-sinx，f(x)=a^x，f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)。

f(x)=e^x，f'(x)=e^x，f(x)=logaX，f'(x)=1/xlna(a>0且a不等于1,x>0)，f(x)=lnx，f'(x)=1/x(x>0)，f(x)=tanx，f'(x)=1/cos^2x，f(x)=cotx，f'(x)=-1/sin^2x。

二、知識(shí)拓展：

函數(shù)數(shù)學(xué)術(shù)語，定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，近代定義是從集合映射的觀點(diǎn)出發(fā)。

函數(shù)最早由中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯，出于其著作《代數(shù)學(xué)》，之所以這么翻譯，他給出的原因是凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)，也即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，或者說一個(gè)量中包含另一個(gè)量。

輸入值的集合被稱為f的定義域，可能的輸出值的集合被稱為f的值域，函數(shù)的值域是指定義域中全部元素通過映射f得到的實(shí)際輸出值的集合，注意把對(duì)應(yīng)域稱作值域是不正確的，函數(shù)的值域是函數(shù)的對(duì)應(yīng)域的子集。

高階函數(shù)求導(dǎo)萊布尼茲公式是(uv)(n)=u(n)v+nu(n-1)v'+n(n-1)/2!u(n-2)v"+n(n-1)...(n-k+1)u(n-k)v(k)+...+uv(n)。

任意階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：

對(duì)任意n階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，由于 n 不是確定值，自然不可能通過逐階求導(dǎo)的方法計(jì)算。此外，對(duì)于固定階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，當(dāng)其階數(shù)較高時(shí)也不可能逐階計(jì)算。

所謂n階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算實(shí)際就是要設(shè)法求出以n為參數(shù)的導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式。求n階導(dǎo)數(shù)的參數(shù)表達(dá)式并沒有一般的方法，最常用的方法是，先按導(dǎo)數(shù)計(jì)算法求出若干階導(dǎo)數(shù)，再設(shè)法找出其間的規(guī)律性，并導(dǎo)出n的參數(shù)關(guān)系式。

常見的8個(gè)高階導(dǎo)數(shù)公式如圖所示：

從概念上講，高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算就是連續(xù)進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。因此只需根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算規(guī)則逐階求導(dǎo)就可以了，但從實(shí)際計(jì)算角度看，卻存在兩個(gè)方面的問題：

（1）一是對(duì)抽象函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，隨著求導(dǎo)次數(shù)的增加，中間變量的出現(xiàn)次數(shù)會(huì)增多，需注意識(shí)別和區(qū)分各階求導(dǎo)過程中的中間變量。

（2）二是逐階求導(dǎo)對(duì)求導(dǎo)次數(shù)不高時(shí)是可行的，當(dāng)求導(dǎo)次數(shù)較高或求任意階導(dǎo)數(shù)時(shí)，逐階求導(dǎo)實(shí)際是行不通的，此時(shí)需研究專門的方法。

導(dǎo)函數(shù)的基數(shù)絕本公式如下。

1、c'=0(c為常數(shù)）。

2、（x^a)'=ax^(a-1),a為常數(shù)且a≠行畢旦0。

3、（檔擾a^x)'=a^xlna。

4、（e^x)'=e^x。

5、（logax)'=1/(xlna),a>0且a≠1。

6、（lnx)'=1/x。

7、（sinx)'=cosx。

8、（cosx)'=-sinx。

9、（tanx)'=(secx)^2。

10、（secx)'=secxtanx。

11、（cotx)'=-(cscx)^2。

12、（cscx)'=-csxcotx。

13、（arcsinx)'=1/√（1-x^2)。

14、（arccosx)'=-1/√（1-x^2)。

15、（arctanx)'=1/(1+x^2)。

16、（arccotx)'=-1/(1+x^2)。

17、（shx)'=chx。

18、（chx)'=shx。

19、（uv)'=uv'+u'v。

20、（u+v)'=u'+v'。

導(dǎo)函數(shù)的基本公式如圖所示：

求導(dǎo)法則：

1、求導(dǎo)的線性：對(duì)函數(shù)的線性組合求導(dǎo)，等于先對(duì)其中每個(gè)部分求導(dǎo)后再取線性組合（即①式）。

2、兩個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)函數(shù)：一導(dǎo)乘二+一乘二導(dǎo)（即②式）。

3、兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)函數(shù)也是一個(gè)分式：（子導(dǎo)乘母-子乘母導(dǎo)）除以母平方（即③式）。

4、如果有復(fù)合函數(shù)，則用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)。

點(diǎn)b處的左導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，f'(x)為區(qū)間[a,b]上的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。

函數(shù)可導(dǎo)的條件：

如果一個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，即函數(shù)在其上都有定義。函數(shù)在定義域中一點(diǎn)可導(dǎo)需要一定的條件：函數(shù)在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，不能證明這點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，只有左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，并且在該點(diǎn)連續(xù)，才能證明該點(diǎn)可導(dǎo)。

可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

證明如下：

假設(shè)我們要求f(g(x))對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，且f(g(x))和g(x)均可導(dǎo)。

首先，根據(jù)定義：當(dāng)h->0時(shí)，g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，當(dāng)h->0時(shí)，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0

設(shè)v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)

就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h

同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k

所以，f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h （其實(shí)就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h）

所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h?f(g(x)))/h

=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]

當(dāng)h->0時(shí)，u和v都->0，這個(gè)容易看。

所以當(dāng)h->0時(shí)，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]

=f'(g(x))·g'(x)

然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)

證畢

簡(jiǎn)介

不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，只有當(dāng)Mx∩Du≠?時(shí)，二者才可以構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)。
設(shè)函數(shù)y=f(u）的定義域?yàn)镈u，值域?yàn)镸u，函數(shù)u=g(x）的定義域?yàn)镈x，值域?yàn)镸x，如果Mx∩Du≠?，那么對(duì)于Mx∩Du內(nèi)的任意一個(gè)x經(jīng)過u。

有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)，則變量x與y之間通過變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)(composite function)，記為：y=f[g(x)]，其中x稱為自變量，u為中間變量，y為因變量（即函數(shù)）。

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：①設(shè)u=g(x)，對(duì)f(u)求導(dǎo)得：昌族f'(x)=f'(u)*g'(x)，設(shè)u=g(x),a=p(u)，對(duì)f(a)求導(dǎo)得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。

設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域?yàn)?102Du，值域?yàn)镸u，函數(shù)u=g(x）的定義域?yàn)镈x，值域?yàn)镸x，如果 Mx∩Du≠?，那么對(duì)于Mx∩Du內(nèi)的任意一個(gè)x經(jīng)過u，有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)，則變量x與y 之間通過變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，記為： y=f[g(x)]，其中x稱為自變量，u為中間變量，y為因變量（即函數(shù)）1653。

擴(kuò)展資料

可以罩純通過觀察自變量的形式來確定此函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù)。舉個(gè)例子，如f(x)=sin(x)，自變量是x，這就是個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)。

再如f(x)=sin2(x)，雖說自變量仍然是x，但原函數(shù)也可以換個(gè)角物迅咐度，看作f(u)=u2，自變量是u=sin(x)，這樣的話，sin2(x)就是個(gè)復(fù)合函數(shù)了。

設(shè)函數(shù)Y=f(u)的定義域?yàn)镈，函數(shù)u=φ(x)的值域?yàn)閆，如果D∩Z，則y通過u構(gòu)成x的函數(shù)，稱為x的復(fù)合函數(shù)，記作Y=f[φ(x)]。x為自變量，y為因變量，而u稱為中間變量。

復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式是f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)。

復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算法明拆答則：

設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域?yàn)镈u，值域?yàn)镸u，函數(shù)u=g(x）御衡的定義域?yàn)镈x，值域?yàn)镸x，如果Mx∩Du≠?，那么對(duì)于Mx∩Du內(nèi)的任意一個(gè)x經(jīng)過u；有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)，則變量x與y之間通過變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系激慧。

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法：

f[g(x)]中,設(shè)g(x)=u,則f[g(x)]=f(u)，從而（公式）：f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)，舉個(gè)例子，f[g(x)]=sin(2x),則設(shè)g(x)=2x,令g(x)=2x=u,則f(u)=sin(u)。

所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x)。

以此類推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)，y'={sin(3-x)]'=-cos(x)，一開始會(huì)做不好，老是要對(duì)照公式和例子。

但只要多練練，并且熟記公式，最重要的是記住一兩個(gè)例子，多練習(xí)就會(huì)了。

一、二次函數(shù)公式:

一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù),a≠0）

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k [拋物線的頂點(diǎn)P（h,k）]

交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1,0）和 B（x2,0）的拋物線]

注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:

h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x1,x2=(-b±√b2-4ac)/2a

二、二次函數(shù)的圖象

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖象,

可以看出,二次函數(shù)的圖象是一條拋物線.

三、拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形.對(duì)稱軸為直線

x = -b/2a.

對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P.

特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為

P [ -b/2a ,(4ac-b2)/4a ].

當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上；當(dāng)Δ= b2-4ac=0時(shí),P在x軸上.

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.

當(dāng)a＞0時(shí),拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí),拋物線向下開口.

|a|越大,則拋物線的開口越小.

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置.

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0）,對(duì)稱軸在y軸左；

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0）,對(duì)稱軸在y軸右.

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn).

拋物線與y軸交于（0,c）

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ= b2-4ac＞0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn).

Δ= b2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn).

Δ= b2-4ac＜0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

四、二次函數(shù)與一元二次方程

特別地,二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax2+bx+c,

當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）,

即ax2+bx+c=0

此時(shí),函數(shù)圖象與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根.

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根.